Ibaitap: Qua bài [Định nghĩa] [Đạo hàm] [Tập xác định] Hàm số mũ cùng tổng hợp lại các kiến thức về hàm số mũ và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.

I.  ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐẠO HÀM HÀM SỐ MŨ

Định nghĩa

Cho số thực dương a ≠ 1, hàm số (y={{a}^{x}}) được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Đạo hàm hàm số mũ:

• (left( {{e}^{x}} right)’={{e}^{x}}).
• (left( {{a}^{x}} right)’={{a}^{x}}ln a).
• (left( {{a}^{u}} right)’={{a}^{u}}ln a.u’).

II. KHẢO SÁT HÀM SỐ (y={{a}^{x}}) 

Chú ý: Đồ thị hàm số (y={{a}^{x}}) luôn đi qua điểm (0;1).

Với (y={{a}^{x}},left( a>1 right))

Tập xác định của hàm số: (mathbb{R}).

Tập giá trị của hàm số: (left( 0;+infty  right)).

Sự biến thiên của hàm số: (y’={{a}^{x}}ln a>0,forall x).

Giới hạn đặc biệt của hàm số: (mathop {lim }limits_{x to – infty } {a^x} = 0,begin{array}{*{20}{c}} {}&{mathop {lim }limits_{x to + infty } } end{array}a = + infty .)

Tiệm cận của hàm số: Trục Ox là tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên của hàm số:

Đồ thị của hàm số:

Với (y={{a}^{x}},left( 0<a<1 right))

Tập xác định của hàm số: (mathbb{R}.)

Tập giá trị của hàm số: (left( 0;+infty  right).)

Sự biến thiên của hàm số: (y’={{a}^{x}}ln a<0,forall x.)

Giới hạn đặc biệt của hàm số: (mathop {lim }limits_{x to – infty } {a^x} = + infty ,begin{array}{*{20}{c}} {}&{mathop {lim }limits_{x to + infty } } end{array}{a^x} = 0.)

Tiệm cận của hàm số: Trục Ox là tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên của hàm số:

Đồ thị của hàm số:

Nhận xét: Đồ thị các hàm số (y={{a}^{x}}) và (y={{log }_{a}}x left (0< a ≠ 1right)) đối xứng nhau qua đường thẳng

III. TẬP XÁC ĐỊNH HÀM SỐ MŨ

Với hàm số mũ (y={{a}^{x}} (a>0, a≠1)) thì không có điều kiện, nghĩa là tập xác định của nó là (mathbb{R}.)

Nhưng với những hàm hợp như (y={{a}^{u(x)}} (a>0, a≠1)) thì tập xác định của nó phụ thuộc vào u(x).

IV. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ HÀM SỐ MŨ

Ví dụ: Tìm tập xác định các hàm số sau: (y={e}^{sqrt{x^2-4x+3}}); (y={2}^{{3x+2}over {1-x}})

Lời giải tham khảo:

a) (y={e}^{sqrt{x^2-4x+3}})

Ta có: ({x^2} – 4x + 3 > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x < 1\ x > 3 end{array} right.)

⇒ Tập xác định của hàm số là (D=left( -infty ;1 right)cup left( 3;+infty right))

b) (y={2}^{{3x+2}over {1-x}})

Ta có: 1-x ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.

⇒ Tập xác định của hàm số là (D=mathbb{R} 1.)