Ibaitap: Qua bài [Định nghĩa] [Đạo hàm] [Tập xác định] Hàm số Logarit cùng tổng hợp lại các kiến thức về hàm số Logarit và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.

I.  ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐẠO HÀM HÀM SỐ LOGARIT

Định nghĩa

Cho số thực dương a ≠ 1, hàm số (y={{log }_{a}}x) được gọi là hàm số logarit cơ số a.

Đạo hàm hàm số Logarit:

• (left( {{log }_{a}}x right)’=frac{1}{xln a}).
• (left( ln x right)’=frac{1}{x}).
• (left( {{log }_{a}}u right)’=frac{u’}{uln a}).

II. KHẢO SÁT HÀM SỐ (y={{log }_{a}}x)

Chú ý: Đồ thị hàm số (y={{log }_{a}}x) luôn đi qua điểm (1;0).

Với (y={{log }_{a}}x,left( a>1 right))

Tập xác định của hàm số: (left( 0;+infty  right)).

Tập giá trị của hàm số:  (mathbb{R}).

Sự biến thiên của hàm số:(y’=frac{1}{xln a}>0,forall x>0).

Giới hạn đặc biệt của hàm số: (underset{xto {{0}^{+}}}{mathop{lim }},{{log }_{a}}x=-infty ,, underset{xto +infty }{mathop{lim }},{{log }_{a}}x=+infty .)

Tiệm cận của hàm số: Trục Oy là tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên của hàm số:

Đồ thị của hàm số:

Với (y={{log }_{a}}xleft( 0< a< 1 right)))

Tập xác định của hàm số: (left( 0;+infty  right)).

Tập giá trị của hàm số:  (mathbb{R}).

Sự biến thiên của hàm số: (y’=frac{1}{xln a}<0,forall x>0).

Giới hạn đặc biệt của hàm số(underset{xto {{0}^{+}}}{mathop{lim }},{{log }_{a}}x=+infty ,,underset{xto +infty }{mathop{lim }},{{log }_{a}}x=-infty)

Tiệm cận của hàm số: Trục Oy là tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên của hàm số:

Đồ thị của hàm số:

Nhận xét: Đồ thị các hàm số (y={{a}^{x}}) và (y={{log }_{a}}x left (0< a ≠ 1right)) đối xứng nhau qua đường thẳng

III. TẬP XÁC ĐỊNH HÀM SỐ LOGARIT

Với hàm số logarit (y={{log }_{a}}x left (0< a ≠ 1right)) tập xác định của nó là (left( 0;+infty  right)).

Với những hàm hợp như (y={{log }_{a}}u(x) left (0< a ≠ 1right)) thì tập xác định của nó phụ thuộc điều kiện xác định là u(x) > 0 và u(x) xác định.

IV. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ HÀM SỐ LOGARIT

Ví dụ: Tìm tập xác định các hàm số sau: (y={{log}_{2}}{sqrt{x^2-4x+3}}); (y={{log }_{2}}{{3x+2}over {1-x}})

Lời giải tham khảo:

a) (y={{log }_{2}}{sqrt{x^2-4x+3}})

Ta có: ({x^2} – 4x + 3 > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x < 1\ x > 3 end{array} right.)

⇒ Tập xác định của hàm số là (D=left( -infty ;1 right)cup left( 3;+infty right))

b) (y={{log }_{2}}{{3x+2}over {1-x}})

Ta có: (frac{3x+2}{1-x}>0Leftrightarrow -frac{2}{3}< x< 1)

⇒ Tập xác định của hàm số là (D=left( -frac{2}{3};1 right))