Ibaitap.com đưa ra lời giải hay và chi tiết cho các bài 30, 31, 32 trang 116 Sgk toán 9 tập 1 thuộc [ Luyện tập trang 116 trong CHƯƠNG II- ĐƯỜNG TRÒN] cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải mời các bạn xem dưới đây:

1. BÀI TẬP 30 TRANG 116 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D.

Chứng minh rằng:

a) (widehat{COD}=  90^0)  

b) (CD=AC+BD)

c) Tích (AC.BD) không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.

Giải:

a) Xét nửa đường tròn (O), có:

CA và CM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C

⇒ OC là tiếp tuyến của (widehat{AOM}) (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ (widehat{O_1}=widehat{O_2}=frac{1}{2}widehat{AOM})

Tương tự, chứng minh được: 

(widehat{O_3}=widehat{O_4}=frac{1}{2}widehat{BOM})

Ta thấy: 

 (widehat{O_1}+widehat{O_2}+widehat{O_3}+widehat{O_4}=180^0) 

(các góc ở vị trí kề bù)

Mà (widehat{O_1}=widehat{O_2})

      (widehat{O_3}=widehat{O_4})

⇒ (2widehat{O_2}+2widehat{O_3}=180^0)

⇒ (2(widehat{O_2}+widehat{O_3})=180^0)

⇒ (widehat{O_2}+widehat{O_3}=90^0)

Mà  (widehat{O_2}+widehat{O_3}=widehat{COD})

⇒ (widehat{COD}=90^0)

b) Xét nửa đường tròn (O), có:

CA và CM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C

⇒ (CA=CM) (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Tương tự, chứng minh được: (DB=DM)

Ta có: (CD = CM+MD)

Mà (CA=CM), (DB=DM) (cmt)

⇒ (CD=AC+BD) (đpcm)

‍

c) Xét  (triangle{OCD}) ((widehat{COD}=90^0)), đường cao OM ứng với cạnh huyền CD.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có:

(OM^2=MC.MD) (theo định lí 2)

Mà (CA=CM), (DB=DM) (cm câu b)

⇒ (CA.DB=OM^2=R^2)

Mà R không đổi ⇒ (R^2) không đổi

⇒ (CA.DB) không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.

2. BÀI TẬP 31 TRANG 116 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Trên hình 82, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O).

a) Chứng minh rằng: (2AD=AB+AC-BC).

b) Tìm các hệ thức tương tự hệ thức ở câu a).

Giải:

Ta có: tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O)

⇒ OD tiếp xúc với AB tại D ⇒ AB là tiếp tuyến của (O) tại D

Tương tự, có: AC là tiếp tuyến của (O) tại F

                       BC là tiếp tuyến của (O) tại E.

 Xét đường tròn (O), có:

AD và AF là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A

⇒ (AD=AF) (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Tương tự, chứng minh được: (BD = BE; CF = CE).

Mặt khác:

(AB = AD + BD)                    (1)

(AC = AF + CF = AD +CF)   (2)

(BC = BE + CE = BD + CF) (3)

Từ (1)+(2)-(3): (AB + AC – BC= (AD+DB)+(AD+FC)-( BD + CF)= 2AD).

b) Các hệ thức tương tự là:

(2BE=2BD=BA+BC-AC)

(2CF=2CE=CA+CB-AB)

3. BÀI TẬP 32 TRANG 116 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn bán kính 1cm. Diện tích của tam giác ABC bằng:

(A) (6 cm^2) ;

(B) (sqrt{3} cm^2) ;

(C) (frac{3sqrt{3}}{4} cm^2) 

(D) (3sqrt{3} cm^2)

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Giải:

Tâm O của đường tròn nội tiếp tam giác đều cũng là giao điểm ba đường trung tuyến, ba đường cao.

Do đó đường cao (h=AE=3.OE=3cm).

Trong tam giác đều, (h = frac{asqrt{3}}{2}) (a là độ dài mỗi cạnh).

Suy ra (a = BC =frac{2h}{sqrt{3}}=frac{2.3}{sqrt{3}}=2sqrt{3} cm)

Do đó: 

(S_{triangle{OAB}}=frac{1}{2}.AE.BC=frac{1}{2}.3.2sqrt{3}=3sqrt{3}cm^2)

⇒ Chọn đáp án (D)