Ibaitap: Qua bài [Phương trình mũ thường gặp và phương pháp giải phương trình cùng tổng hợp lại các kiến thức như về phương trình mũ và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.

I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN ({{a}^{x}}=bleft(a >0,ane 1 right))

Xét phương trình mũ có dạng: ({{a}^{x}}=bleft(a >0,ane 1 right)).

Với (b>0): Phương trình có một nghiệm duy nhất (a^x=bLeftrightarrow x=log_ab)

Với (ble 0): phương trình vô nghiệm.

II. CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN

Biến đổi, quy về cùng cơ số 

Xét ({{a}^{f(x)}}={{a}^{g(x)}})

(Leftrightarrow left[ begin{array}{l} a = 1 \ left{ {begin{array}{*{20}{l}} {0 < a ne 1}\ {fleft( x right) = gleft( x right)} end{array}} right. end{array} right.)

Đặt ẩn phụ

Xét (fleft[ {{a^{g(x)}}} right] = 0left( {0 < a ne 1} right))

(Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {t = {a^{gleft( x right)}} > 0}\ {fleft( t right) = 0} end{array}} right.)

Các dạng phương trình thường gặp:

• (m.{{a}^{2fleft( x right)}}+n.{{a}^{fleft( x right)}}+p=0)
• (m.{{a}^{f(x)}}+n.{{b}^{f(x)}}+p=0), trong đó (a.b=1). Đặt (t={{a}^{f(x)}}.t>0 Leftrightarrow {{b}^{fleft( x right)}}=frac{1}{t}).
• (m.{{a}^{2fleft( x right)}}+n.{{left( a.b right)}^{fleft( x right)}}+p.{{b}^{2fleft( x right)}}=0), chia hai vế cho ({{b}^{2fleft( x right)}}), và đặt ({{left( frac{a}{b} right)}^{fleft( x right)}}=t>0).

Logarit hóa

Xét phương trình ({a^{fleft( x right)}} = b Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {0 < a ne 1,b > 0}\ {fleft( x right) = {{log }_a}b} end{array}} right.)

Xét phương trình ({{a}^{fleft( x right)}}={{b}^{gleft( x right)}})

(Leftrightarrow left[ begin{array}{l} {{log }_{a}}{{a}^{fleft( x right)}}={{log }_{a}}{{b}^{gleft( x right)}}Leftrightarrow fleft( x right)=gleft( x right).{{log }_{a}}b \ {{log }_{b}}{{a}^{fleft( x right)}}={{log }_{b}}{{b}^{gleft( x right)}}Leftrightarrow fleft( x right).{{log }_{b}}a=gleft( x right)end{array} right.)

Giải bằng phương pháp đồ thị

Xét phương trình ({{a}^{x}}=fleft( x right)left(0< ane 1 right)left(*right))

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số (y={{a}^{x}}left(0< ane 1 right)) và (y=fleft( x right))

• Vẽ đồ thị  hai đồ thị hàm số (y={{a}^{x}}left(0< ane 1 right)) và (y=fleft( x right))
• Kết luận nghiệm của phương trình (*) đã cho dựa trên số giao điểm của hai đồ thị.

Sử dụng đánh giá

Xét phương trình (fleft( x right)=gleft( x right))

Ta đánh giá được (left{ {begin{array}{*{20}{l}} {fleft( x right) ge m}\ {gleft( x right) le m} end{array}} right.)

Từ đó có được (fleft( x right) = gleft( x right) Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {fleft( x right) = m}\ {gleft( x right) = m} end{array}} right.)

III. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Ví dụ: Giải các phương trình sau: ({{3}^{2x-1}}+{{3}^{2x}}); ({{left( 0,5 right)}^{x+7}}.{{left( 0,5 right)}^{1-2x}}); ({{3.4}^{x}}-{{2.6}^{x}}={{9}^{x}})

Lời giải tham khảo:

a) ({{3}^{2x-1}}+{{3}^{2x}})

(Leftrightarrow frac{1}{3}cdot {{3}^{2x}}+{{3}^{2x}}=108)

(Leftrightarrow frac{4}{3}cdot {{3}^{2x}}=108Leftrightarrow {{3}^{2x}}=81)

(Leftrightarrow 2x=4Leftrightarrow x=2)

b) ({{left( 0,5 right)}^{x+7}}.{{left( 0,5 right)}^{1-2x}})

(Leftrightarrow {{left( frac{1}{2} right)}^{x+7+1-2x}}=2)

(Leftrightarrow {{2}^{x-8}}={{2}^{1}}Leftrightarrow x-8=1)

(Leftrightarrow x=9)

c) ({{3.4}^{x}}-{{2.6}^{x}}={{9}^{x}})

(Leftrightarrow {{3.4}^{x}}-{{2.6}^{x}}-{{9}^{x}}=0)

Chia cả hai vế của phương trình cho ({{9}^{x}}), ta được:

(3.frac{{{4}^{x}}}{{{9}^{x}}}-2.frac{{{6}^{x}}}{{{9}^{x}}}-1=0)

(Leftrightarrow 3.{{left( frac{4}{9} right)}^{x}}-2.{{left( frac{6}{9} right)}^{x}}-1=0)

(Leftrightarrow 3.{{left[ {{left( frac{2}{3} right)}^{x}} right]}^{2}}-2.{{left( frac{2}{3} right)}^{x}}-1=0)

Đặt ({{left( frac{2}{3} right)}^{x}}=tleft( t>0 right)), ta có phương trình:

(3{t^2} – 2t – 1 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} t = 1\ t = – frac{1}{3}left( {loai} right) end{array} right.)

(Rightarrow {{left( frac{2}{3} right)}^{x}}=1Leftrightarrow x=0).