Ibaitap: Qua bài [Định nghĩa] [Tính chất] Tích phân cùng tổng hợp lại các kiến thức về tích phân và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.

I. DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG

Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a ; b], hình phẳng bị giới hạn bởi f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a và x = b được gọi là hình thang cong.

Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì ta có thể chứng minh được diện tích S của hình thang cong được tính theo công thức: (S=Fleft( b right)-Fleft( a right)).

II.  ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b], F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu F(b)−F(a) được gọi là tích phân của f(x) từ a đến b. 

Ký hiệu: (intlimits_{a}^{b}{fleft( x right)dx}) ⇒(intlimits_{a}^{b}{f(x)dx=left. F(x) right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)})

III.  TÍCH CHẤT TÍCH PHÂN

Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên [a; b], c là điểm bất kì thuộc [a; b], ta có tính chất của nguyên hàm là:

• (intlimits_{a}^{b}{kf(x)dx}=k.intlimits_{a}^{b}{f(x)dx}).
• (intlimits_{a}^{b}{left[ f(x)pm g(x) right]dx}=intlimits_{a}^{b}{f(x)dx}pm intlimits_{a}^{b}{g(x)dx}).
• (intlimits_{a}^{b}{f(x)dx}=intlimits_{a}^{c}{f(x)dx}+intlimits_{c}^{b}{f(x)dx}).

IV.  PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Phương pháp đổi biến số

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử hàm số (x=varphi left( t right)) có đạo hàm liên tục trên đoạn (left[ alpha ;beta right]) sao cho (varphi left( alpha right)=a,varphi left( beta right)=b) và (ale varphi left( t right)le b) với mọi  (tin left[ alpha ;beta right]). 

Ta có: (intlimits_{a}^{b}{f(x)dx}=intlimits_{alpha }^{beta }{fleft( varphi left( t right) right)varphi ‘left( t right)dt}).

Phương pháp tích phân từng phần

Nếu (u=uleft( x right)) và (v=vleft( x right)) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b] thì

(intlimits_{a}^{b}{uleft( x right)v’left( x right)dx})
=(left. left( u(x)v(x) right) right|_{a}^{b}-intlimits_{a}^{b}{vleft( x right)u’left( x right)dx}).
hay (intlimits_{a}^{b}{udv}=left. uv right|_{a}^{b}-intlimits_{a}^{b}{vdu}).

V. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ TÍCH PHÂN

Ví dụ:  Tính (intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{sin left( frac{pi }{4}-x right)dx}).

Lời giải tham khảo:

(intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{sin left( frac{pi }{4}-x right)dx})

=(-intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{sin left( frac{pi }{4}-x right)dleft( frac{pi }{4}-x right)})

=(left. -left( -cos left( frac{pi }{4}-x right) right) right|_{0}^{frac{pi }{2}}=0)