[Định nghĩa] [Tính chất] [Công thức] Bảng Nguyên hàm

Create by : https://globalizethis.org

Ibaitap: Qua bài [Định nghĩa] [Tính chất] [Bảng Công thức] Nguyên hàm cùng tổng hợp lại các kiến thức về nguyên hàm và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.

I.  ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D (D là khoảng hoặc đoạn hay nửa khoảng thuộc R), hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) nếu đạo hàm của F(x) bằng f(x) với mọi x thuộc D.

Ví dụ: Hàm F(x) = x² là nguyên hàm của hàm số y = 2x trên R vì F’(x) = f(x).

Họ nguyên hàm:

  • Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên D thì F(x) + C (trong đó C là hằng số) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên D.
  • Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên D thì mọi nguyên hàm của f(x) trên D đều sẽ có dạng F(x) + C (trong đó C là hằng số), khi đó F(x) + C được gọi là họ nguyên hàm của f(x) trên D: 

Chú ý: Vì (dFleft( x right)=F’left( x right)dx=fleft( x right)dx) nên (fleft( x right)dx) chính là vi phân của nguyên hàm F(x), f(x).

II.  TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM

Ta có tính chất của nguyên hàm là:

  • (int{f’left( x right)dtext{x}}=fleft( x right)+C).
  • (int{kfleft( x right)dtext{x}}=kint{fleft( x right)dtext{x}}) với k  là hằng số khác 0.
  • (int{left[ fleft( x right)pm gleft( x right) right]dtext{x}}=int{fleft( x right)dtext{x}}pm int{gleft( x right)dtext{x}}).
  • Mọi hàm số f(x) liên tục trên D xác định đều có nguyên hàm trên D.

III. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

Hàm số
Nguyên hàm của hàm số đơn giản

Lũy thừa

(int{dx=}x+C)
(int{{{x}^{alpha }}dx=}frac{{{x}^{alpha +1}}}{alpha +1}+C)


Lôgarít

(int{frac{dx}{x}=lnleft| x right|}+C)
(int{{{e}^{x}}dx={{e}^{x}}+C})
(int{{{a}^{x}}dx=frac{{{a}^{x}}}{lna}}+C)
Nguyên hàm của hàm số hợp
(u=u(x))(u=u(x))

Lũy thừa

(int{du=}u+C)
(int{{{u}^{alpha }}du=}frac{{{u}^{alpha +1}}}{alpha +1}+C)


Lôgarít

(int{frac{du}{u}=lnleft| u right|}+C)
(int{{{e}^{u}}du={{e}^{u}}+C})
(int{{{a}^{u}}du=frac{{{a}^{u}}}{lna}}+C)

Hàm số Nguyên hàm của hàm số đơn giản

Lượng giác

(int{cosxdx=sinx+C})
(int{sinxdx=-cosx+C})
(int{frac{dx}{co{{s}^{2}}x}=tanx+C})
(int{frac{dx}{si{{n}^{2}}x}=-cotx+C})
(int{cotxdx=lnleft| sinx right|+C})
(int{tanxdx=-lnleft| cosx right|+C})
Nguyên hàm của hàm số hợp
(u=u(x))(u=u(x))
(int{cosudu=sinu+C})
(int{sinudu=-cosu+C})
(int{frac{du}{co{{s}^{2}}u}=tanu+C})
(int{frac{du}{si{{n}^{2}}u}=-cotu+C})
(int{cotudu=lnleft| sinu right|+C})
(int{tanudu=-lnleft| cosu right|+C})

Hàm số

Căn thức

Nguyên hàm của hàm số đơn giản
(int{frac{dx}{sqrt{x}}}=2sqrt{x}+C)
(int{sqrt[n]{x}dx}=frac{n}{n+1}sqrt[n]{{{x}^{n+1}}}+C)
(int{sqrt[n]{x}dx}=frac{n}{n+1}sqrt[n]{{{x}^{n+1}}}+C)
(int{frac{dx}{sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}}=arcsinfrac{x}{a}+C)
Nguyên hàm của hàm số hợp
(u=u(x))(u=u(x))
(int{frac{du}{sqrt{u}}}=2sqrt{u}+C)
(int{sqrt[n]{u}du}=frac{n}{n+1}sqrt[n]{{{u}^{n+1}}}+C)
(int{sqrt[n]{u}du}=frac{n}{n+1}sqrt[n]{{{u}^{n+1}}}+C)
(int{frac{du}{sqrt{{{a}^{2}}-{{u}^{2}}}}}=arcsinfrac{u}{a}+C)

Hàm số

Phân thức hữu tỷ

Nguyên hàm của hàm số đơn giản
(int{frac{dx}{{{x}^{2}}}=-frac{1}{x}+C})
(int{frac{dx}{{{x}^{n}}}=frac{-1}{(n-1){{x}^{n-1}}}+C})
(int{frac{dx}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}}=frac{1}{2a}lnleft| frac{x-a}{x+a} right|+C)
(int{frac{dx}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}=frac{1}{a}arctanfrac{x}{a}+C)
Nguyên hàm của hàm số hợp
(u=u(x))(u=u(x))
(int{frac{du}{{{u}^{2}}}=-frac{1}{u}+C})
(int{frac{du}{{{u}^{n}}}=frac{-1}{(n-1){{u}^{n-1}}}+C})
(int{frac{du}{{{u}^{2}}-{{a}^{2}}}}=frac{1}{2a}lnleft| frac{u-a}{u+a} right|+C)
(int{frac{du}{{{u}^{2}}+{{a}^{2}}}}=frac{1}{a}arctanfrac{u}{a}+C)

IV.  BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ NGUYÊN HÀM

Ví dụ:  Tính nguyên hàm: (I =int{sin 2xdx}).

Lời giải tham khảo:

(I =int{sin 2xdx})

=(int{2sin xcos xdx})

=(2int{sin xdleft( sin x right)})

=(2.frac{1}{2}{{sin }^{2}}x+C)

=({{sin }^{2}}x+C)

Khi copy nhớ ghi nguồn : https://globalizethis.org nhé . Chúc bạn may mắn

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

This site uses cookies to offer you a better browsing experience. By browsing this website, you agree to our use of cookies.