I. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC LÀ GÌ

Đường tròn ngoại tiếp tam giác hay còn được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác có tính chất:

• Mỗi một tam giác chỉ có duy nhất 1 đường tròn ngoại tiếp.
• Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường trung trực của tam giác đó do đó bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác chính bằng khoảng cách từ tâm đến 3 đỉnh của tam giác.
• Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là chính trung điểm của cạnh huyền.
• Đối với tam giác đều, đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác có cùng tâm đường tròn với nhau.

Ví dụ: △ABC trên nội tiếp đường tròn (O, R =OA).

II. CÔNG THỨC ĐỘ DÀI CỦA BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

Có 4 cách tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (R): Sử dụng công thức định lý sin trong tam giác, công thức diện tích trong tam giác, công thức tam giác vuông, sử dụng tọa độ.

Công thức định lý sin trong tam giác:

Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng độ dài một cạnh tam giác chia cho sin của góc chiếu cạnh đấy:

$$R={aover sin A} ={bover sin B} = {cover sin C}$$

Trong đó:

• R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

• a, b. c: Độ dài các cạnh của hình tam giác.
• A, B, C: Các góc của hình tam giác.

Công thức diện tích trong tam giác

Áp dụng công thức diện tích trong tam giác ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng tích độ dài các cạnh tam giác chia cho 4 lần diện tích tam giác ấy:

$$R={a.b.cover 4S} $$

Trong đó:

• S: Diện tích của hình tam giác.
• a, b. c: Độ dài các cạnh của hình tam giác.
• A, B, C: Các góc của hình tam giác.
• R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Công thức tam giác vuông

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là chính trung điểm của cạnh huyền, vì vậy, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông chính bằng nửa độ dài của cạnh huyền đó.

$$MO= ON=OP={1over 2}MN $$

Sử dụng tọa độ

Tìm tọa độ tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC rồi tìm tọa độ một trong ba đỉnh A, B, C (nếu chưa có) từ đó tính khoảng cách từ tâm O tới một trong ba đỉnh A, B, C.

OA = OB = OC

IV. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ CÔNG THỨC ĐỘ DÀI CỦA  BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

Ví dụ: Cho hình △ABC có độ dài các cạnh của hình tam giác lần lượt là là 8cm, 10cm, 12cm. Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp △ABC bằng bao nhiêu?

Áp dụng công thức chu vi  tam giác ta có, chu vi △ABC là:

P= 8 + 10 + 12 = 30 (cm)

⇒ nửa chu vi của △ABC là: p = 30 : 2= 15 (cm)

Áp dụng công thức tính diện tích, ta có diện tích △ABC là:

S² = p x (p – a) x (p – b) x (p – c) = 15 x (15 -8) x (15 -10) x (15 -12)= 1575

⇒ S = ( sqrt{1575})

Áp dụng công thức ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp △ABC là:

( R={a.b.cover 4S}={8.12.10over sqrt{1575}}={64 sqrt 7 over 7})