Khử mẫu của biểu thức lấy căn ( các bài 48 và 49) 

Gợi ý: 

Đối với bài này ta sử dụng phép khử mẫu của biểu thức lấy căn cho 2 số a, b ( a.b ≥ 0 và a # 0):

(sqrt{frac{a}{b}}) = (frac{sqrt{ab}}{|b|})

1. BÀI TẬP 48 TRANG 29 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

(sqrt{frac{1}{600}}) ;   (sqrt{frac{11}{540}}) ;  (sqrt{frac{3}{50}})

(sqrt{frac{5}{98}})   ;   (sqrt{frac{(1-sqrt{3})^2}{27}})

Giải:

• (sqrt{frac{1}{600}}) = (frac{sqrt{1.600}}{|600|})

= (frac{sqrt{600}}{600}) =  (frac{sqrt{6.100}}{600})

=  (frac{sqrt{6}.sqrt{100}}{600}) = (frac{sqrt{6}.10}{600})

= (frac{sqrt{6}}{60})

• (sqrt{frac{11}{540}}) = (frac{sqrt{11.540}}{|540|})

= (frac{sqrt{11.540}}{540}) =  (frac{sqrt{11.36.15}}{540})

=  (frac{sqrt{11.15}.sqrt{36}}{540}) 

= (frac{sqrt{165}.6}{540}) = (frac{sqrt{165}}{90})

• (sqrt{frac{3}{50}}) =  (frac{sqrt{3.50}}{|50|})

= (frac{sqrt{3.50}}{50}) =  (frac{sqrt{3.2.25}}{50})

=  (frac{sqrt{3.2}.sqrt{25}}{50}) 

= (frac{sqrt{6}.sqrt{25}}{50}) =  (frac{sqrt{6}.5}{50}) 

= (frac{sqrt{6}}{10})

• (sqrt{frac{5}{98}}) = (frac{sqrt{5.98}}{|98|})

= (frac{sqrt{5.98}}{98}) =  (frac{sqrt{5.2.49}}{98})

=  (frac{sqrt{5.2}.sqrt{49}}{98}) 

= (frac{sqrt{10}.sqrt{49}}{98}) =  (frac{sqrt{10}.7}{98}) 

= (frac{sqrt{10}}{14})

• (sqrt{frac{(1-sqrt{3})^2}{27}}) = (sqrt{frac{(1-sqrt{3})^2}{27}})

= (frac{sqrt{(1-sqrt{3})^2.27}}{|27|}) 

= (frac{sqrt{(1-sqrt{3})^2.27}}{27})

=  (frac{sqrt{(1-sqrt{3})^2}.sqrt{27}}{27}) 

=  (frac{sqrt{(1-sqrt{3})^2}.sqrt{3.9}}{27}) 

=  (frac{sqrt{(1-sqrt{3})^2}.sqrt{3.9}}{27}) 

=  (frac{sqrt{(1-sqrt{3})^2}.sqrt{3}.sqrt{9}}{27}) 

=  (frac{|1-sqrt{3}|.sqrt{3}.3}{27}) 

=  (frac{(sqrt{3}-1).sqrt{3}.3}{27}) 

= (frac{(sqrt{3}-1).sqrt{3}}{9})

2. BÀI TẬP 49 TRANG 29 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

ab(sqrt{frac{a}{b}})  ;  (frac{a}{b})(sqrt{frac{b}{a}})

(sqrt{frac{1}{b}+frac{1}{b^2}}) ;  (sqrt{frac{9a^3}{36b}})

3xy(sqrt{frac{2}{xy}})

( Gỉa thiết các biểu thức có nghĩa)

Giải:

• ab(sqrt{frac{a}{b}}) = ab(frac{sqrt{ab}}{|b|})

+) Nếu b > 0, a > 0 thì |b|=b 

⇒ ab(frac{sqrt{ab}}{|b|}) = ab(frac{sqrt{ab}}{b})

= a(sqrt{ab})

+) Nếu b < 0, a < 0 thì |b| = – b

⇒ ab(frac{sqrt{ab}}{|b|}) = ab(frac{sqrt{ab}}{-b})

= – a(sqrt{ab})

• (frac{a}{b})(sqrt{frac{b}{a}}) 

= (frac{a}{b}).(frac{sqrt{ba}}{|a|})

+) Nếu a > 0, b > 0 thì |a|=a 

⇒ (frac{a}{b}).(frac{sqrt{ba}}{|a|})

= (frac{a}{b}).(frac{sqrt{ba}}{a}) 

=(frac{sqrt{ab}}{b})

+) Nếu a < 0, b < 0 thì |a|= -a 

⇒ (frac{a}{b}).(frac{sqrt{ba}}{|a|})

= (frac{a}{b}).(frac{sqrt{ba}}{-a}) 

= – (frac{sqrt{ab}}{b})

• (sqrt{frac{1}{b}+frac{1}{b^2}}) 

     = (sqrt{frac{1+b}{b^2}}) = (frac{sqrt{1+b}}{sqrt{b^2}})

= (frac{sqrt{1+b}}{|b|})

+) Nếu b > 0 thì |b| = b ⇒ (frac{sqrt{1+b}}{|b|}) = (frac{sqrt{1+b}}{b})

+) Nếu b < 0 thì |b| = -b 

⇒ (frac{sqrt{1+b}}{|b|}) = -(frac{sqrt{1+b}}{b}) 

• (sqrt{frac{9a^3}{36b}}) = (sqrt{frac{a^3}{4b}})

= (sqrt{frac{1}{4}}).(sqrt{frac{a^2.a}{b}})

= (frac{1}{2}).(frac{sqrt{a^2.ab}}{|b|})

= (frac{1}{2}).(frac{sqrt{a^2}.sqrt{ab}}{|b|})

= (frac{1}{2}).(frac{|a|.sqrt{ab}}{|b|})

+) Nếu b > 0, a > 0 thì |a| = a, |b| = b 

⇒ (frac{1}{2}).(frac{|a|.sqrt{ab}}{|b|}) = (frac{a.sqrt{ab}}{2b}) 

+) Nếu b < 0, a < 0 thì |a| = -a, |b| = – b 

⇒ (frac{1}{2}).(frac{|a|.sqrt{ab}}{|b|}) 

= (frac{-a.sqrt{ab}}{2(-b)}) = (frac{a.sqrt{ab}}{2b}) 

• 3xy(sqrt{frac{2}{xy}}) = 3xy(frac{sqrt{2xy}}{|xy|})

      = 3xy(frac{sqrt{2xy}}{xy}) = 3(sqrt{2xy})

3. BÀI TẬP 50 TRANG 30 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

 (frac{5}{sqrt{10}})   ;      (frac{5}{2sqrt{5}})

 (frac{1}{3sqrt{20}}) ;       (frac{2sqrt{2}+2}{5sqrt{2}})

 (frac{y+bsqrt{y}}{bsqrt{y}})

Gợi ý: 

Đối với bài toán này, ta sử dụng phép trục căn thức cho 2 biểu thức A, B (B > 0 ), ta có:  

(frac{A}{sqrt{B}}) =  (frac{Asqrt{B}}{B}) 

Giải:

• (frac{5}{sqrt{10}}) = (frac{5sqrt{10}}{10}) 

       = (frac{sqrt{10}}{2}) 

• (frac{5}{2sqrt{5}}) = (frac{5sqrt{5}}{2.5}) 

        =  (frac{sqrt{5}}{2})

•  (frac{1}{3sqrt{20}}) = (frac{1sqrt{20}}{3.20}) 

= (frac{sqrt{20}}{60}) 

• (frac{2sqrt{2}+2}{5sqrt{2}})

cách 1: Sử dụng phép trục căn thức

(frac{2sqrt{2}+2}{5sqrt{2}}) 

= (frac{(2sqrt{2}+2)sqrt{2}}{5.2}) 

= (frac{2(sqrt{2}+1)sqrt{2}}{5.2})

= (frac{2+sqrt{2}}{5})

cách 2: đặt nhân tử chung và rút gọn

(frac{2sqrt{2}+2}{5sqrt{2}}) = (frac{2sqrt{2}+2}{5sqrt{2}}) 

= (frac{(2+sqrt{2})sqrt{2}}{5sqrt{2}}) 

= (frac{2+sqrt{2}}{5})

• (frac{y+bsqrt{y}}{bsqrt{y}}) 

cách 1: Sử dụng phép trục căn thức

(frac{y+bsqrt{y}}{bsqrt{y}}) 

= (frac{(y+bsqrt{y})sqrt{y}}{b.y}) 

= (frac{ysqrt{y}+by}{b.y}) 

= (frac{y(sqrt{y}+b)}{b.y}) 

= (frac{sqrt{y}+b}{b})

         cách 2: đặt nhân tử chung và rút gọn

(frac{y+bsqrt{y}}{bsqrt{y}}) 

= (frac{sqrt{y}(sqrt{y}+b)}{bsqrt{y}}) 

= (frac{sqrt{y}+b}{b})

4. BÀI TẬP 51 TRANG 30 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

(frac{3}{sqrt{3}+1})  ;     (frac{2}{sqrt{3}-1})

(frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}})

(frac{b}{3+sqrt{b}})  ;       (frac{p}{2sqrt{p}-1})

Gợi ý:

Đối với bài toán này, ta sử dụng phép trục căn thức cho 2 biểu thức A, B, C (A ≥ 0 và A # (B^2)), ta có: 

(frac{C}{sqrt{A}±B}) = (frac{C(sqrt{A}± B)}{A-B^2})

Giải:

• (frac{3}{sqrt{3}+1}) 

= (frac{3.(sqrt{3}-1)}{(sqrt{3}+1).(sqrt{3}-1)})

=  (frac{3(sqrt{3} – 1)}{(sqrt{3})^2-1^2})

= (frac{3(sqrt{3} – 1)}{3-1^2})

=  (frac{3(sqrt{3} – 1)}{2}) =  (frac{3sqrt{3} – 3}{2})

• (frac{2}{sqrt{3}-1}) =(frac{2.(sqrt{3}+1)}{(sqrt{3}+1).(sqrt{3}+1)})

=  (frac{2(sqrt{3} + 1)}{(sqrt{3})^2-1^2})

= (frac{2(sqrt{3} + 1)}{3-1^2})

=  (frac{2(sqrt{3} + 1)}{2}) =  (sqrt{3} +1)

• (frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}) 

= (frac{(2+sqrt{3}).(2+sqrt{3})}{(2-sqrt{3}).(2+sqrt{3})})

= (frac{(2+sqrt{3})^2}{2^2-(sqrt{3})^2})

= (frac{2^2+2.2.sqrt{3}+(sqrt{3})^2}{2^2-(sqrt{3})^2})

= (frac{4+4.sqrt{3}+3}{4-3})

= (frac{7+4.sqrt{3}}{1}) = 7+4.(sqrt{3})

• (frac{b}{3+sqrt{b}}) 

= (frac{b.(3-sqrt{b})}{(3+sqrt{b}).(3-sqrt{b})})

=  (frac{b.(3-sqrt{b})}{b^2-(sqrt{3})^2})

= (frac{b(3-sqrt{b} )}{b^2-3})

• (frac{p}{2sqrt{p}-1}) 

= (frac{p.(2sqrt{p}+1)}{(2sqrt{p}-1).(2sqrt{p}+1)})

=  (frac{p(2sqrt{p} + 1)}{(2sqrt{p})^2-1^2})

= (frac{p(2sqrt{p} + 1)}{4p-1})

5. BÀI TẬP 52 TRANG 30 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

(frac{2}{sqrt{6}-sqrt{5}})  ; (frac{3}{sqrt{10}+sqrt{7}})

(frac{1}{sqrt{x}-sqrt{y}})   ; (frac{2ab}{sqrt{a}-sqrt{b}})

Gợi ý:

Đối với bài toán này, ta sử dụng phép trục căn thức cho 2 biểu thức A, B, C (A ≥ 0, B  ≥ 0 và A # (B^2)), ta có: 

(frac{C}{sqrt{A}±sqrt{A}}) 

= (frac{C(sqrt{A}± sqrt{A})}{A-B})

Giải:

• (frac{2}{sqrt{6}-sqrt{5}}) 

= (frac{2(sqrt{6}+ sqrt{5})}{(sqrt{6}-sqrt{5}).(sqrt{6}+ sqrt{5})})

= (frac{2(sqrt{6}+ sqrt{5})}{(sqrt{6})^2-(sqrt{5})^2})

= (frac{2(sqrt{6}+ sqrt{5})}{6-5})

= (frac{2(sqrt{6}+ sqrt{5})}{1})

= 2((sqrt{6}+ sqrt{5}))

• (frac{3}{sqrt{10}+sqrt{7}}) 

= (frac{3(sqrt{10}- sqrt{7})}{(sqrt{10}-sqrt{7}).(sqrt{10}+ sqrt{7})})

= (frac{3(sqrt{10}- sqrt{7})}{(sqrt{10})^2-(sqrt{7})^2})

= (frac{3(sqrt{10}- sqrt{7})}{10-7})

= (frac{3(sqrt{10}- sqrt{7})}{3})

= (sqrt{10}- sqrt{7})

• (frac{1}{sqrt{x}-sqrt{y}})  

= (frac{1.(sqrt{x}+ sqrt{y})}{(sqrt{x}-sqrt{y}).(sqrt{x}+ sqrt{y})})

= (frac{sqrt{x}+ sqrt{y}}{(sqrt{x})^2-(sqrt{y})^2})

= (frac{sqrt{x}+ sqrt{y}}{x-y})

• (frac{2ab}{sqrt{a}-sqrt{b}})

= (frac{2ab.(sqrt{a}+ sqrt{b})}{(sqrt{a}-sqrt{b}).(sqrt{a}+ sqrt{b})})

= (frac{2ab.(sqrt{a}+ sqrt{b})}{(sqrt{a})^2-(sqrt{b})^2})

= (frac{2ab.(sqrt{a}+ sqrt{b})}{a-b})