Hình thang là một trong những hình học rất gặp trong quá trình học và các đề thị đại học hiện nay. Để giải được các bài toán các bạn cần nắm được định nghĩa, tính chất hình thanh và cách chứng minh hình thang. Tất cả sẽ được chúng tôi chia sẻ chi tiết trong bài viết dưới

Hình thang là gì?

Trong hình học Euclide, hình thang là một tứ giác lồi có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song này được gọi là các cạnh đáy của hình thang. Hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên.

Các dạng đặc biệt của hình thang

• Hình thang vuông: là hình thang có 1 góc vuông được gọi là hình thang vuông
• Hình thang cân: là hình thang có 2 góc kề một cạnh đáy bằng nhau được gọi là hình thang cân.
• Hình thang vuông cân: là hình thang vừa vuông vừa cân và còn được gọi là hình chữ nhật.

Tính chất của hình thang

1. Tính chất về góc

• Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng bằng 180⁰ (hai góc nằm ở vị trí trong cùng phía của hai đoạn thẳng song song là 2 cạnh đáy).
• Trong hình thang cân, hai góc kề một đáy bằng nhau

2. Tính chất về cạnh

• Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên sẽ song song và bằng nhau.
• Hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.

3.Tính chất về đường trung bình

Đường trung bình là đường thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

• Đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh bên của hình thang và song song với 2 cạnh đáy thì sẽ đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại.
• Đường trung bình của hình thang sẽ song song với 2 cạnh đáy và bằng ½ tổng 2 đáy.

Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo công thức tính chu vi, diện tích hình tròn.

Cách chứng minh hình thang

Cách 1: Chứng minh tứ giác đó có một cặp cạnh đối song song.

Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng AE, BE, AC và BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang.

Lời giải:

Ta có:

M là trung điểm của AE

N là trung điểm của BE

=> MN là đường trung bình ứng với cạnh AB của ΔEAB, suy ra MN // AB (1)

Gọi R là trung điểm của AD

Trong ΔADB, RQ là đường trung bình, suy ra RQ // AB

Trong ΔCAD, RP là đường trung bình, suy ra RP // DC

mà DC // AB nên RP // AB.

RQ và RP cùng đi qua R và cùng song song với AB nên theo tiên đề Ơclit thì RQ ≡ RP

Từ đây ta suy ra QP // AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ => Tứ giác MNPQ là hình thang do một cặp cạnh đối song song.

Cách 2: Chứng minh tứ giác đó có tổng hai góc kề một cạnh bên bằng 180⁰

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy một điểm B’ sao cho AB’ = AB và trên AB lấy một điểm C’ sao cho AC’ = AC. Chứng minh tứ giác BB’CC’ là hình thang.

Ta có:

AB’ = AB

=> ∆BAB’ cân tại A

=> Góc ABB’ = (180°- Â)/2

Chứng minh tương tự, ta có: Góc AC’C = (180°- Â)/2

=> Góc ABB = Góc AC’C

=> Góc ABB’ + Góc B’BC’ = Góc AC’C + Góc B’BC’

=> Góc AC’C + Góc B’BC’ = 180°

=> Tứ giác BB’CC’ là hình thang do tổng hai góc kề một cạnh bên bằng 180°

Hy vọng với định nghĩa, tính chất hình thang và cách chứng minh hình thang có thể giúp bạn áp dụng vào làm bài tập nhé