Dạng lượng giác của số phức : Cho số phức z có dạng $z = rleft( {cos varphi + isin varphi }
ight)$ thì ta luôn có : ${z^n} = {r^n}left( {cos nvarphi + isin nvarphi }
ight)$Lệnh chuyển số phức z=a+bi về dạng lượng giác : Lệnh SHIFT 2 3

Bước 1: Nhập số phức z=a+bi vào màn hình rồi dùng lệnh SHIFT 2 3 (Ví dụ $z = 1 + sqrt 3 i$ )

Bước 2: Từ bảng kết quả ta đọc hiểu r=2 và $varphi = frac{pi }{3}$

II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1. (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 )Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} – z + 1 = 0$ . Giá trị của $left| {{z_1}}
ight| + left| {{z_2}}
ight|$ bằng :A.0B.1C. 2D.4

Lời giải

Tính nghiệm của phương trình bậc hai ${z^2} – z + 1 = 0$ bằng chức năng MODE 5 3

 Vậy ta được hai nghiệm ${z_1} = frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i$ và ${z_2} = frac{1}{2} – frac{{sqrt 3 }}{2}i$ . Tính tổng Môđun của hai số phức trên ta lại dùng chức năng SHIFT HYP

$ Rightarrow left| {{z_1}}
ight| + left| {{z_2}}
ight| = 2$ ta thấy B là đáp án chính xác

VD2. (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 )Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 2z + 2 = 0$ . Tính giá trị của biểu thức $P = z_1^{2016} + z_2^{2016}$:A. ${2^{1009}}$B.0C. ${2^{2017}}$D. ${2^{1008}}$

Lời giải:

Tính nghiệm của phương trình bậc hai ${z^2} + 2z + 2 = 0$ bằng chức năng MODE 5 3

Ta thu được hai nghiệm ${z_1} = – 1 + i$ và ${z_2} = – 1 – i$ . Với các cụm đặc biệt -1+i , -1-i ta có điều đặc biệt sau: ${left( { – 1 + i}
ight)^4} = – 4$ , ${left( { – 1 – i}
ight)^4} = – 4$

Vậy $P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {left( { – 1 + i}
ight)^{2016}} + {left( { – 1 – i}
ight)^{2016}} = {left^{504}} + {left^{504}}$$ = {left( { – 4}
ight)^{504}} + {left( { – 4}
ight)^{504}} = {4^{504}} + {4^{504}} = {2^{1008}} + {2^{1008}} = {2.2^{1008}} = {2^{1009}}$$P = z_1^{2016} + z_2^{2016} = {2^{1009}}$ ta thấy A là đáp án chính xác

VD3. (Đề minh họa bộ GD-ĐT lần 1 )Kí hiệu ${z_1},{z_2},{z_3}$ và ${z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình ${z^4} – {z^2} – 12 = 0$ . Tính tổng :$T = left| {{z_1}}
ight| + left| {{z_2}}
ight| + left| {{z_3}}
ight| + left| {{z_4}}
ight|$A.T=4B. $T = 2sqrt 3 $C. $T = 4 + 2sqrt 3 $D. $T = 2 + 2sqrt 3 $

Lời giải

Để tính nghiệm của phương trình ta dùng chức năng MODE 5. Tuy nhiên máy tính chỉ tính được phương trình bậc 2 và 3 nên để tính được phương trình bậc 4 trùng phương ${z^4} – {z^2} – 12 = 0$ thì ta coi ${z^2} = t$ khi đó phương trình trở thành ${t^2} – t – 12 = 0$

Vậy $leftegin{array}{l} t = 4 t = – 3 end{array}
ight.$ hay $leftegin{array}{l} {z^2} = 4 {z^2} = – 3 end{array}
ight.$Với ${{
m{z}}^2} = 4 Rightarrow z = pm 2$Với ${z^2} = – 3$ ta có thể đưa về ${z^2} = 3{i^2} Leftrightarrow z = pm sqrt 3 i$ với ${i^2} = – 1$ . Hoặc ta có thể tiếp tục sử dụng chức năng MODE 5 cho phương trình ${z^2} = – 3 Leftrightarrow {z^2} + 3 = 0$

Tóm lại ta sẽ có 4 nghiệm $z = pm 1,,,z = pm sqrt 3 i$Tính T ta lại sử dụng chức năng tính môđun SHIFT HYP

VD4: (Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 )Giải phương trình sau trên tập số phức : ${z^3} + left( {i + 1}
ight){z^2} + left( {i + 1}
ight)z + i = 0$A.z=-IB. $z = – frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i$C. $z = – frac{1}{2} – frac{{sqrt 3 }}{2}i$D.Cả A, B, C đều đúng

Lời giải:

Để kiểm tra nghiệm của 1 phương trình ta sử dụng chức năng CALC

Vậy z=-i là nghiệmTiếp tục kiểm tra $z = – frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i$ nếu giá trị này là nghiệm thì cả đáp án A và B đều đúng có nghĩa là đáp án D chính xác. Nếu giá trị này không là nghiệm thì chỉ có đáp án A đúng duy nhất.

Đang xem: Giải hệ phương trình số phức bằng máy tính

Vậy $z = – frac{1}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}i$ tiếp tục là nghiệm có nghĩa là đáp án A và B đều đúng$ Rightarrow $ Đáp án chính xác là D

VD5: (Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 )Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào có hai nghiệm ${z_1} = 1 + sqrt 3 ,;{z_2} = 1 – sqrt 3 $A. ${z^2} + isqrt 3 z + 1 = 0$B. ${z^2} + 2{
m{z}} + 4 = 0$C. ${z^2} – 2{
m{z}} + 4 = 0$D. ${z^2} – 2{
m{z}} – 4 = 0$

Lời giải:

Ta hiểu phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ nếu có hai nghiệm thì sẽ tuân theo định lý Vi-et (kể cả trên tập số thực hay tập số phức ): $left{ egin{array}{l} {z_1} + {z_2} = – frac{b}{a} {z_1}{z_2} = frac{c}{a} end{array}
ight.$Tính ${z_1} + {z_2} = 2$

Rõ ràng chỉ có phương trình ${z^2} – 2{
m{z}} + 4 = 0$ có $ – frac{b}{a} = 2$ và $frac{c}{a} = 4$$ Rightarrow $ Đáp số chính xác là C

VD 6: (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 )Phương trình ${z^2} + iz + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm trong tập số phức :A.2B.1C. 0D.Vô số

Lời giải:

Ta phân biệt : Trên tập số thực phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ sẽ có hai nghiệm phân biệt nếu $Delta > 0$ , có hai nghiệm kép nếu $Delta = 0$ , vô nghiệm nếu $Delta 0 Delta Vậy ta chỉ cần tính $Delta $ là xong. Với phương trình ${z^2} + iz + 1 = 0$ thì $Delta = {i^2} – 4 = – 5$ là một đại lượng $ 3) ta sử đưa số phức về dạng lượng giác và sử dụng công thức Moa-vơ . Và để dễ nhìn ta đặt $z = frac{{z_1^{10}.z_2^5}}{{z_3^{10}}}$Tính ${z_1} = 1 – i = rleft( {cos varphi + isin varphi }
ight)$. Để tính r và $varphi $ ta lại sử dụng chức năng SHIF 2 3

Vậy ${z_1} = sqrt 2 left( {cos frac{{ – pi }}{4} + isin frac{{ – pi }}{4}}
ight)$ $z_1^{10} = {left( {sqrt 2 }
ight)^{10}}left( {cos 10.frac{{ – pi }}{4} + isin 10.frac{{ – pi }}{4}}
ight)$Tính $cos 10.frac{{ – pi }}{4} + isin 10.frac{{ – pi }}{4}$

Vậy $z_1^{10} = {left( {sqrt 2 }
ight)^{10}}.i = {2^5}.i$Tương tự $z_2^5 = {2^5}left( {cos 5.frac{pi }{6} + isin 5.frac{pi }{6}}
ight) = {2^5}left( { – frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i}
ight)$$z_3^{10} = {2^{10}}left( {cos 10.frac{{ – 2pi }}{3} + isin 10.frac{{ – 2pi }}{3}}
ight) = {2^{10}}left( { – frac{1}{2} – frac{{sqrt 3 }}{2}i}
ight)$Tổng hợp $z = frac{{z_1^{10}.z_2^5}}{{z_3^{10}}} = frac{{{2^5}i{{.2}^5}left( { – frac{{sqrt 3 }}{2} + frac{1}{2}i}
ight)}}{{{2^{10}}left( { – frac{1}{2} – frac{{sqrt 3 }}{2}i}
ight)}}$

Vậy z=1 $ Rightarrow $ Đáp số chính xác là B

BÀI TẬP VẬN DỤNGBài 1. Cho phương trình v có hai nghiệm phức ${z_1}$ và ${z_2}$ . Giá trị của $left| {{z_1}}
ight| + left| {{z_2}}
ight|$ là :A. $2sqrt {17} $B. $2sqrt {13} $C. $2sqrt {10} $D. $2sqrt {15} $(Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2 )

Bài 2. Gọi ${z_1},{z_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + 2{
m{z}} + 10 = 0$ . Tính giá trị biểu thức $A = {left| {{z_1}}
ight|^2} + {left| {{z_2}}
ight|^2}$A. $2sqrt {10} $B.20C. $5sqrt 2 $D. $10sqrt 3 $(Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009)

Bài 3.

Xem thêm: Diện Tích Phòng Khách Tối Thiểu, Diện Tích Phòng Khách Tiêu Chuẩn Là Bao Nhiêu

Kí hiệu ${z_1},{z_2},{z_3}$ là nghiệm của phương trình ${z^3} + 27 = 0$ . Tính tổng $T = left| {{z_1}}
ight| + left| {{z_2}}
ight| + left| {{z_3}}
ight|$A.T=0B. $T = 3sqrt 3 $C.T=9D.T=3(Thi thử Group Nhóm toán lần 5 )

Bài 4. Gọi ${z_1},{z_2},{z_3},{z_4}$ là bốn nghiệm phức của phương trình $2{{
m{z}}^4} – 3{{
m{z}}^2} – 2 = 0$ . Tính tổng sau$T = left| {{z_1}}
ight| + left| {{z_2}}
ight| + left| {{z_3}}
ight| + left| {{z_4}}
ight|$A.5B. $5sqrt 2 $C. $3sqrt 2 $D. $sqrt 2 $(Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 )

Bài 5.

Xem thêm: Soạn Chương Trình Địa Phương Phần Văn Lớp 9 Chương Trình Địa Phương (Phần Văn)

Xét phương trình ${z^3} = 1$ trên tập số phức . Tập nghiệm của phương trình là :A. $S = left{ 1
ight}$B. $S = left{ {1;frac{{ – 1 pm sqrt 3 }}{2}}
ight}$C. $S = left{ {1; – frac{1}{2} pm frac{{sqrt 3 }}{2}i}
ight}$D. $S = left{ { – frac{1}{2} pm frac{{sqrt 3 }}{2}i}
ight}$(Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 )

Bài 6. Biết z là nghiệm của phương trình $z + frac{1}{z} = 1$ . Tính giá trị biểu thức $P = {z^{2009}} + frac{1}{{{z^{2009}}}}$A.P=1B.P=0C. $P = – frac{5}{2}$D. $P = frac{7}{4}$