Ibaitap: Qua bài [Định nghĩa] [Quy tắc tìm] Đường tiệm cận của đồ thị hàm số cùng tổng hợp lại các kiến thức về đường tiệm cận và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.

I. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG VÀ QUY TẮC TÌM ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Cho hàm số y= f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là những khoảng có dạng (a; +∞), (−∞; b) hoặc (−∞; +∞)). 

Đường thẳng (y=y_0) là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y= f(x) nếu: 

• (underset{xto { +infty}}{mathop{text{lim}}}fleft( x right)={{y}_{0}}).
• (underset{xto {-infty}}{mathop{text{lim}}}fleft( x right)={{y}_{0}}).

II. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG VÀ QUY TẮC TÌM ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Đường thẳng (x=x_0) được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y= f(x) nếu: 

• (underset{xto {{x_0}^{+}}}{mathop{text{lim}}}fleft( x right)={+infty}).
• (underset{xto {{x_0}^{-}}}{mathop{text{lim}}}fleft( x right)={-infty}).
• (underset{xto {{x_0}^{+}}}{mathop{text{lim}}}fleft( x right)={-infty}).
• (underset{xto {{x_0}^{-}}}{mathop{text{lim}}}fleft( x right)={+infty}).

Chú ý: Đồ thị hàm số (y=frac{ax+b}{cx+d}text{ }left( cne 0;text{ }ad-bcne 0 right)) luôn có tiệm cận ngang là (y=frac{a}{c}) và tiệm cận đứng là (x=-frac{d}{c}).

III. ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN VÀ QUY TẮC TÌM ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau:

(left[ {begin{array}{*{20}{l}} underset{xto {+infty}}{mathop{text{lim}}}[f(x)-(ax+b)]=0\ underset{xto {-infty}}{mathop{text{lim}}}[f(x)-(ax+b)]=0end{array}} right.) 

Trong đó:

(left{ begin{matrix} a=underset{xto {+infty}}{mathop{text{lim}}}{f(x)over {x}} \ b=underset{xto {+infty}}{mathop{text{lim}}}[f(x)-ax]\ end{matrix} right.) hoặc (left{ begin{matrix} a=underset{xto {-infty}}{mathop{text{lim}}}{f(x)over {x}} \ b=underset{xto {-infty}}{mathop{text{lim}}}[f(x)-ax]\ end{matrix} right.)

III. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Ví dụ: Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: (y=frac{2-x}{9-{{x}^{2}}}).

Lời giải tham khảo:

Ta có: (y=frac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=frac{2-x}{left( 3-x right)left( 3+x right)})

Xét:

• (underset{xto {3^+}}{mathop{text{lim}}}frac{2-x}{left( 3-x right)left( 3+x right)}=+infty)

⇒ x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• (underset{xto {(-3)^+}}{mathop{text{lim}}}frac{2-x}{left( 3-x right)left( 3+x right)}=+infty)

⇒ x = -3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• (underset{xto {+infty}}{mathop{text{lim}}}frac{2-x}{9-{{x}^{2}}}= underset{xto {+infty}}{mathop{text{lim}}}frac{frac{2}{{{x}^{2}}}-frac{1}{x}}{frac{9}{{{x}^{2}}}-1}= 0)

⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.