Ibaitap: Qua bài [Định nghĩa] [Công thức nghiệm] Phương trình bậc hai một ẩn cùng tổng hợp lại các kiến thức về phương trình bậc hai một ẩn và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.

I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN LÀ GÌ

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). 

Trong đó:

• x: là ẩn số.
• a, b, c: là những số cho trước gọi là các hệ số.

II. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Công thức nghiệm 

Xét phương trình bậc hai một ẩn: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và có biệt thức Δ = b² – 4ac.

• Nếu Δ > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt (x_{1}^{{}}=frac{-b+sqrt{Delta }}{2a};) (x_{2}^{{}}=frac{-b-sqrt{Delta }}{2a}.)
• Nếu Δ = 0: phương trình có nghiệm kép (x_{1}^{{}}=x_{2}^{{}}=frac{-b}{2a}.)
• Nếu Δ < 0: phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a và c trái dấu, tức là ac < 0. Khi đó ta có Δ = b² – 4ac > 0 ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Công thức nghiệm thu gọn

Xét phương trình bậc hai một ẩn: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và  b’=2b  có biệt thức Δ’ = b’² – ac.

• Nếu Δ’ > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt (x_{1}^{{}}=frac{-b’+sqrt{Delta’ }}{2a};) (x_{2}^{{}}=frac{-b’-sqrt{Delta’}}{2a}.)
• Nếu Δ’ = 0: phương trình có nghiệm kép (x_{1}^{{}}=x_{2}^{{}}=frac{-b’}{a}.)
• Nếu Δ’ < 0: phương trình vô nghiệm.

Phương trình với hai trường hợp đặc biệt

Trường hợp c = 0

Khi đó phương trình có dạng: ax² + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0

Phương trình có nghiệm: (x_1 = 0; x_2 = {-bover a})

Trường hợp b = 0

Khi đó phương trình có dạng: ax² + c = 0 ⇔ (x^2={-c over a})

• Nếu a, c cùng dấu thì ({-c over a}< 0) ⇒ phương trình vô nghiệm.
• Nếu a, c khác dấu thì ({-c over a} > 0) ⇒ phương trình có hai nghiệm.

III. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Ví dụ 1: Giải phương trình sau theo công thức nghiệm: 2x² − 7x + 3 = 0.

Lời giải tham khảo:

2x² − 7x + 3 = 0

Ta có hệ số a = 2, b = −7, c = 3.

⇒ (Delta ={{b}^{2}}-4ac={{left( -7 right)}^{2}}-4.2.3=25>0.)

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

• (x_{1}^{{}}=frac{-b+sqrt{Delta }}{2a}=frac{7+sqrt{25}}{2.2}=3)
• (x_{2}^{{}}=frac{-b-sqrt{Delta }}{2a}=frac{7-sqrt{25}}{2.2}=frac{1}{2}.)

Vậy tập nghiệm của phương trình là (S=left{ frac{1}{2};3 right}.)