Trong đại số tuyến tính, vết (tiếng Anh: trace) của một ma trận vuông A bậc nxn được xác định bằng tổng các phần tử trên đường chéo chính (đường nối từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải) của A [1].

t r ( A ) = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n = ∑ i = 1 n a i i { displaystyle mathrm { tr } ( A ) = a_ { 11 } + a_ { 22 } + dots + a_ { nn } = sum _ { i = 1 } ^ { n } a_ { ii } , }

với aii là ký hiệu phần tử ở hàng thứ i và cột thứ i của A. Tương đương với vết của ma trận là tổng của các trị riêng của nó, và nó bất biến khi thay đổi cơ sở. Sự đặc trưng hóa này có thể sử dụng để xác định vết cho các toán tử tuyến tính trong trường hợp tổng quát. Chú ý rằng, vết chỉ được định nghĩa cho một ma trận vuông.

Xét về ý nghĩa hình học, vết ma trận có thể được giải thích như là một sự thay đổi nhỏ của thể tích (như đạo hàm của định thức), và được miêu tả chính xác bằng công thức Jacobi..

Ký hiệu của nó thường là Sp hoặc Tr.

Gọi T là một toán tử tuyến tính biểu diễn bằng ma trận

[ − 2 2 − 3 − 1 1 3 2 0 − 1 ]. { displaystyle { begin { bmatrix } – 2 và 2 và – 3 – 1 và 1 và 3 2 và 0 và – 1 end { bmatrix } }. }

Thì tr(T) = −2 + 1 − 1 = −2.

Liên hệ với những giá trị riêng[sửa|sửa mã nguồn]

Vết của ma trận A bằng tổng các giá trị riêng của nó [2].

t r ( A ) = ∑ i = 1 n λ i { displaystyle tr ( A ) = sum _ { i = 1 } ^ { n } lambda _ { i } }

trong đó

λ

i

{displaystyle lambda _{i}}

là giá trị riêng của A.

Cho A,B là các ma trận vuông cùng cấp và c là hằng số, khi đó:

t r ( A + B ) = t r ( A ) + t r ( B ) { displaystyle tr ( A + B ) = tr ( A ) + tr ( B ) }

t
r
(
c
⋅
A
)
=
c
⋅
t
r
(
A
)

{displaystyle tr(ccdot A)=ccdot tr(A)}

Xem thêm: Cùng Tìm Hiểu Các Chức Danh Giám Đốc Trong Công Ty

Cho A là ma trận m hàng n cột, còn B là ma trận n hàng và m cột, thì [2]:

t r ( A B ) = t r ( B A ) { displaystyle tr ( AB ) = tr ( BA ) }

Vết của ma trận phối hợp[sửa|sửa mã nguồn]

Cho A là ma trận vuông cấp n bất kì,
Cho P là ma trận vuông cấp n và khả nghịch.
Liên hợp của A theo P là

P
A

P

−
1

{displaystyle PAP^{-1}}

, khi đó ta có:

t r ( A ) = t r ( P A P − 1 ) { displaystyle tr ( A ) = tr ( PAP ^ { – 1 } ) }

có nghĩa là khi ta lấy phối hợp của ma trận thì vết của nó không đổi khác .

Vết của ma trận chuyển vị[sửa|sửa mã nguồn]

Cho A là ma trận vuông cấp n bất kì,

A

T

{displaystyle A^{T}}

là ma trận chuyển vị của nó. Ta có:

t r ( A ) = t r ( A T ) { displaystyle tr ( A ) = tr ( A ^ { T } ) }

Vết của tích ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng[sửa|sửa mã nguồn]

Vết của tích ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng bằng 0. Có nghĩa là:
Nếu A là ma trận đối xứng và B là ma trận phản đối xứng, thì:

t r ( A B ) = 0 { displaystyle tr ( AB ) = 0 }

Vết của ma trận lũy đẳng[sửa|sửa mã nguồn]

Vết của ma trận lũy đẳng A (ma trận A sao cho A2 = A) bằng hạng của A.

Vết của ma trận lũy linh[sửa|sửa mã nguồn]

Vết của ma trận lũy linh A bằng 0.

1. ^ Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP. Hà Nội, trang 115 .
2. ^ a b Nguyễn Văn Hữu – Nguyễn Hữu Dư, Phân tích thống kê và dự báo, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP. Hà Nội, trang 27 .

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]