Bạn có bài tập chứng minh tứ giác là hình vuông nhưng bạn không biết cách chứng minh như thế nào? Bởi bạn không nhớ được dấu hiệu nhận biết và tính chất hình vuông. Sau đây, điện máy Ebest sẽ chia sẻ lý thuyết định nghĩa hình vuông là gì? Dấu hiệu nhận biết, tính chất hình vuông và cách chứng minh hình vuông chi tiết trong bài viết dưới đây để các bạn cùng tham khảo

Hình vuông là gì?

Hình vuông là hình tứ giác đều có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau (4 góc vuông). Có thể coi hình vuông là hình chữ nhật có các cạnh bằng nhau hoặc là hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau.

Tính chất hình vuông

Trong một hình vuông có:

• Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc và giao nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Có 2 cặp cạnh song song.
• Có 4 cạnh bằng nhau.
• Có một đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp đồng thời tâm của cả hai đường tròn trùng nhau và là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông.
• 1 đường chéo sẽ chia hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau.
• Giao điểm của các đường phân giác, trung tuyến, trung trực đều trùng tại một điểm.
• Có tất cả tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

Dấu hiệu nhận biết hình vuông

Một hình tứ giác là một hình vuông nếu như và chỉ nếu như nó là một trong những hình sau:

• Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.
• Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc.
• Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc.
• Hình thoi có một góc vuông.
• Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
• Hình bình hành có một góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau.

Tham khảo thêm:

Bài tập chứng minh hình vuông

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác trong AD của góc A (D ∈ BC ). Vẽ DF ⊥ AC, DE ⊥ AB. Chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông.

Lời giải

+ Xét tứ giác AEDF có A^∧ = E^∧ = F^∧ = 90⁰

⇒ AEDF là hình chữ nhật . (1)

Theo giả thiết ta có AD là đường phân giác của góc Aˆ

⇒ EAD^∧ = DAF^∧ = 45⁰.

+ Xét Δ AED có AED^∧ = 90⁰; DAE^∧ = 45⁰ ⇒ EDA^∧ = 45⁰

⇒ Δ AED vuông cân tại E nên AE = ED (2)

Từ ( 1 ),( 2 ) ⇒ AEDF là hình vuông

Ví dụ 2: Tìm các hình vuông trên hình 105.

Lời giải

– ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒ ABCD là hình bình hành

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau ⇒ ABCD là hình chữ nhật

Hình chữ nhật ABCD có AB = BC ⇒ ABCD là hình vuông

– MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒ MNPQ là hình bình hành

Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo bằng nhau ⇒ MNPQ là hình chữ nhật

Hình chữ nhật MNPQ có MP ⊥ NQ tại O ⇒ MNPQ là hình vuông

– RSTU có 4 cạnh bằng nhau ⇒ RSTU là hình thoi

Hình thoi RSTU có một góc vuông ⇒ RSTU là hình vuông

Ví dụ 3: Cho hình 107, trong đó ABCD là hình vuông. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình vuông.

Lời giải:

Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Theo giả thiết ta có: AE = BF = CG = DH nên ta có:

AB – AE = BC – BF = CD – CG = DA – DH

⇔ BE = CF= DG = HA

Xét các tam giác vuông AEH, BFE, CGF, DHG có:

AE= BF = CG = DH (giả thiết)

HA= BE = CF = DG (chứng minh trên)

⇒ ΔAEH = ΔBFE = ΔCGF = ΔDHG ( c.g.c)

Suy ra: HE = EF = FG = GH (các cạnh tương ứng)

Tứ giác EFGH là hình thoi có 1 góc bằng 90^o nên EFGH là hình vuông

Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của AD và DC.

a) Chứng minh rằng BI ⊥ AK.

b) Gọi E là giao điểm của BI và AK. Chứng minh rằng CE = AB.

Lời giải

Xét Δ BAI và Δ ADK có:

⇒ Δ BAI = Δ ADK (c – g – c)

⇒ ABIˆ = DAKˆ (góc tương ứng bằng nhau)

Mà IAEˆ + EABˆ = 90⁰ ⇒ ABIˆ + EABˆ = 90⁰

+ Xét Δ ABE có EABˆ + ABEˆ + AEBˆ = 180⁰

⇒ AEBˆ = 180⁰ – (ABEˆ + BAEˆ) = 180⁰ – 90⁰ = 90⁰ hay AK ⊥ BI (đpcm)

+ Xét tứ giác EBCK có KEBˆ + EBCˆ + BCKˆ+ CKEˆ = 360⁰

⇒ EBCˆ + EKCˆ = 180⁰.

Mà AKDˆ + AKCˆ = 180⁰ nên EBCˆ = EKDˆ

+ Tứ giác EBCK nội tiếp nên BECˆ = BKCˆ

Mà BKCˆ = AKDˆ nên EBCˆ = BECˆ hay tam giác BEC cân tại C

⇒ CE = BC = AB (đpcm)

Ví dụ 5: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung diểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.

a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác EMFN là hình gì? Vì sao?

a) E, F là trung điểm AB, CD ⇒ AE = EB = AB/2, DF = FC = CD/2.

Ta có: AB = CD = 2AD = 2BC

⇒ AE = EB = BC = CF = FD = DA.

+ Tứ giác ADFE có AE // DF, AE = DF

⇒ ADFE là hình bình hành.

Hình bình hành ADFE có Â = 90º

⇒ ADFE là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật ADFE là hình chữ nhật có AE= AD

⇒ ADFE là hình vuông.

b) Tứ giác DEBF có EB // DF, EB = DF nên là hình bình hành

Do đó DE // BF

Tương tự: AF // EC

Suy ra EMFN là hình bình hành

Theo câu a, ADFE là hình vuông nên ME = MF, ME ⊥ MF.

Hình bình hành EMFN có M̂ = 90º nên là hình chữ nhật.

Lại có ME = MF nên EMFN là hình vuông.

Bên trên chính là toàn bộ lý thuyết về định nghĩa, dấu hiệu nhận biết và tính chất hình vuông có thể giúp các bạn vận dụng vào làm bài tập đơn giản nhé