Tích vô hướng của 2 vectơ: Góc giữa hai vectơ, Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ, Tính chất của tích vô hướng, Biểu thức tọa độ của tích vô hướng…

Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ  và  được mô tả như hình sau:

Số đo góc trên được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ  và .

Nếu số đo ấy bằng 90 độ, ta nói  vuông góc với .

Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ  và  là một số (đại lượng đại số), được kí hiệu là  và được xác định bởi công thức

Bình phương vô hướng:

Với mỗi vectơ  tùy ý, tích vô hướng  được kí hiệu là  được gọi là bình phương vô hướng

Ta có:

Như vậy: Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó

Tính chất của tích vô hướng

a) Định lí
Với ba vectơ  tùy ý và một số thực k, ta có:

 (tính chất giao hoán)

 (tính chất phân phối tổng hiệu)

b) Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

Ta dễ dàng chứng minh được  thông qua việc chứng minh tam giác đồng dạng

Mặc khác theo định lý Pytago vào tam giác OMT vuông tại T (vì MT là tiếp tuyến)

Ta có: 

Theo ý trên:  (vì M, A, B thẳng hàng)

Vậy: 

Đây chính là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O).

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ . Khi đó:

Ví dụ cho tích vô hướng của 2 vectơ

Ví dụ 1:
Tính tích vô hướng của  và  biết chúng tạo với nhau một góc 

Lời giải:
Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ, ta có: 

Ví dụ 2:
Cho hình vuông ABCD cạnh a đường chéo BD. Tính các tích vô hướng sau: ,  và 

Lời giải:

Vì  nên 

Ví dụ 3:
Tính giá trị của biểu thức  biết 

Lời giải:
Ta có: 

Ví dụ 4:
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

Lời giải:
Ta có:

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc x
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!