Ibaitap: Qua bài Phương trình bậc hai với hệ số thực và Phương trình số phức cùng tổng hợp lại các kiến thức về các loại phương trình số phức và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.

I. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC 

Số phức w = x + yi (x , y ∈ R) là căn bậc hai của số phức z = a + bi ⇔ (w^2=z).

Mọi số phức z ≠ 0 đều có hai căn bậc hai là hai số đối nhau w và −w.

Căn bậc hai số thực a là:

• a > 0: (pm sqrt{a}).
• a < 0: (pm isqrt{left| a right|}).

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

Xét phương trình bậc hai tổng quát: (a{{x}^{2}}+bx+c=0left( a;b;cin mathbb{R};ane 0 right)), có (Delta ={{b}^{2}}-4ac):

• (Delta >0): phương trình có hai nghiệm thực ({{x}_{1,2}}=frac{-bpm sqrt{Delta }}{2a}).
• (Delta =0): phương trình có nghiệm thực duy nhất ({{x}_{1,2}}=frac{-b}{2a}).
• (Delta <0): phương trình có hai nghiệm phức ({{x}_{1,2}}=frac{-bpm isqrt{left| Delta  right|}}{2a}).

Định lí Vi-ét được áp dụng:

(left{ begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = – frac{b}{a}\ {x_1}{x_2} = frac{c}{a} end{array} right.) 

III. CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC

Xét phương trình (az+boverline{z}=c), trong đó a, b, c là các số phức và |a| ≠ |b|, ta có công thức giải nhanh phương trình là:

$$z=frac{overline{a}.c-b.overline{c}}{{{left| a right|}^{2}}-{{left| b right|}^{2}}}$$

IV. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC VÀ PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC

Ví dụ: Tìm nghiệm phương trình sau: (z^4+7.z^2+10=0)

Lời giải tham khảo:

(z^4+7.z^2+10=0)

Đặt (t={{z}^{2}}Rightarrow) Phương trình đã cho tương đương với ({t^2} + 7t + 10 = 0) 

(Leftrightarrow left[ begin{array}{l} t = – 5\ t = – 2 end{array} right.)

(Rightarrow left[ begin{array}{l} {z^2} = – 5\ {z^2} = – 2 end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} z = pm isqrt 5 \ z = pm isqrt 2 end{array} right.)