1. BÀI TẬP 41 TRANG 128 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.

Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.

a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K).

b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC

d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).

e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.

Gợi ý:

a) Có 2 vị trí tương đối của hai đường tròn (O;R) và (O’;r) khi R ≥ r 

• TH1: 2 đường tròn cắt nhau (có 2 điểm chung) khi và chỉ khi : R – r < OO’ < R + r
• TH2: 2 đường tròn tiếp xúc nhau (1 điểm chung)

                    +) Tiếp xúc trong khi và chỉ khi OO’ = R – r >0

                    +) Tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi OO’ = R + r

b) Chứng minh tứ giác có ba góc vuông dựa vào kiến thức : “3 điểm của tam giác thuộc đường tròn và có canh là đường kính thì tam giác đó là tam giác vuông.”

c) Dùng hệ thức lượng về chiều cao và độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền : (b^2=b’.a)

d) Chứng minh 1 đường thẳng là tiếp tuyến của 1 đường tròn thì ta chứng minh cho đường thẳng đó vuông góc với bán kính tại 1 điểm thuộc đường tròn.

e) Biểu diễn độ dài EF theo độ dài của AH rồi biện luận để tìm vị trí của dây đó vuông góc với BC

 

Giải:

a) 

• Tìm vị trí tương đối giữa đường tròn (I) và đường tròn (O)

Ta có: (OI = OB- IB) ⇒ Đường tròn (I) tiếp xúc trong với (O) tại B

• Tìm vị trí tương đối giữa đường tròn (K) và đường tròn (O)

Ta có: (OK = OC- KC) ⇒ Đường tròn (K) tiếp xúc trong với (O) tại K

• Tìm vị trí tương đối giữa đường tròn (I) và đường tròn (K)

Ta có: (IK = IH+KH) ⇒ Đường tròn (I) tiếp xúc ngoài với (K) tại H.

 

b) Xét đường tròn (O), có:

3 điểm A, B, C thuộc (O) ⇒ Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC

Mà cạnh BC là đường kính của  (O) ⇒ Tam giác ABC vuông tại A

⇒ (widehat{BAC} = 90^0)

hay (widehat{EAF} = 90^0)

Xét tứ giác AEHF có:

(widehat{EAF} = 90^0) (cmt)

(widehat{AEH} = 90^0) ( vì (HE⊥AB tại H)

(widehat{AFH} = 90^0) ( vì (HF⊥AC tại H)

⇒ AEHF là hình chữ nhật 

c) Xét (triangle{ABH}) ((widehat{AHB}=90^0)), HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

(AH^2= AE.AB) ( theo định lí 1)    (1)

Xét (triangle{ACH}) ((widehat{AHC}=90^0)), HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

(AH^2= AF.AC) ( theo định lí 1)    (2)

Từ (1), (2) ⇒ (AE.AB= AF.AC) (đpcm)

‍

d) 

Gọi G là giao điểm của AH và EF

Ta có: tứ giác AEHF là hình chữ nhật (cm câu a) 

⇒ (GH = EH) (tính chất hcn)

⇒ (triangle{EGH}) là tam giác cân tại G

⇒ (widehat{E_1}=widehat{H_1})

Ta có: (triangle{EIH}) là tam giác cân tại I (vì (IE=IH)=R của (I))

⇒ (widehat{E_2}=widehat{H_2})

⇒ (widehat{E_1}+widehat{E_2}=widehat{H_1}+widehat{H_2})

Mà (widehat{H_1}+widehat{H_2}=widehat{AHB}=90^0)

⇒ (widehat{E_1}+widehat{E_2}=90^0)

Hay (widehat{IEF}=90^0) 

Do đó EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)

Tương tự, EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)

e) – Cách 1:

Ta có: EF = AH ≤ OA (OA có độ dài không đổi)

Do đó EF lớn nhất khi AH = OA

<=> H trùng O hay dây AD đi qua O.

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

– Cách 2: EF = AH = AD/2.

Do đó EF lớn nhất khi AD lớn nhất. Khi đó, dây AD là đường kính.

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

2. BÀI TẬP 42 TRANG 128 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO’

c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính OO’

Giải:

a) Ta có: 2 tiếp tuyến MA và MB cắt nhau tại M trong đường tròn (O)

⇒ (widehat{M_1}=widehat{M_2}) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: 2 tiếp tuyến MA và MC cắt nhau tại M trong đường tròn (O’)

⇒ (widehat{M_3}=widehat{M_4}) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Ta lại có: 

(widehat{M_1}+widehat{M_2}+widehat{M_3}+widehat{M_4}=180^0)

⇒ (2widehat{M_2}+2widehat{M_3}=180^0)

⇒ (widehat{M_2}+widehat{M_3}=90^0)

⇒ (widehat{OMO’}=90^0)

Xét đường tròn (O):

(OA=OB=R)

(MA=MB) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ MO là đường trung trực của đoạn BA ⇒ MO⊥BA tại E ⇒ (widehat{AEM}=90^0)

Xét đường tròn (O’):

(O’A=O’C=R)

(MA=MC) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ MO’ là đường trung trực của đoạn AC ⇒ MO’⊥CA tại F ⇒ (widehat{AFM}=90^0)

Xét tứ giác AEMF, có:

(widehat{OMO’}=widehat{AEM}=widehat{AFM}=90^0)

⇒ AEMF là hình chữ nhật

‍

b) Xét (triangle{OAM}) ((widehat{OAM}=90^0)), AE là đường cao ứng với cạnh huyền OM.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

(AM^2= ME.MO) ( theo định lí 1)    (1)

Xét (triangle{O’AM}) ((widehat{O’AM}=90^0)), AF là đường cao ứng với cạnh huyền O’M.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

(AM^2= MF.O’M) ( theo định lí 1)    (2)

Từ (1), (2) ⇒ (ME.MO= MF.O’M) (đpcm)

c) 

Ta có: 2 tiếp tuyến MA và MB cắt nhau tại M trong đường tròn (O)

⇒ (MA=MB) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: 2 tiếp tuyến MA và MC cắt nhau tại M trong đường tròn (O’)

⇒ (MA=MC) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ (MA=MB=MC=frac{1}{2}BC) 

⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Mà bán kính MA ⊥ OO’ tại A ⇒ OO’ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (theo dấu hiệu nhận biết)

‍

d) 

Gọi I là trung điểm của OO’, 

⇒ I là tâm của đường tròn có đường kính OO’

Ta có:  tam giác OMO’ là tam giác vuông tại M ((widehat{OMO’}=90^0))

⇒ IM là bán kính (vì MI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông MOO’).

Ta có: IM là đường trung bình của hình thang OBCO’ 

nên IM // OB // O’C (tính chất đường trung bình trong hình thang)

 Mà OB ⊥ BC (BC là tiếp tuyến tại B của (O))

 Do đó IM ⊥ BC tại M.

⇒ BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính OO’

3. BÀI TẬP 43 TRANG 128 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và B (R > r). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn (O; R) và (O’; r) theo thứ tự C và D (khác A).

a) Chứng minh rằng AC = AD.

b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB.

Giải:

a) Kẻ OM ⊥ CD tại M

O’N ⊥ CD tại N

Theo mối quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây, ta có:

(MA=MC=frac{1}{2}AC),  (NA=ND=frac{1}{2}AD) (1)

Xét hình thang OO’NM có:

IA ⊥ MN tại A

I là trung điểm của OO’

⇒ IA là đường trung bình của hình thang OO’NM

⇒ (AM=AN=frac{1}{2}MN)  (2)

⇒ (CM=AM=AN=ND) ⇒ (CA=AD) 

b) Gọi H là giao của AB và OO’

Ta có: (OA=OB=R)

           (O’A=O’B=r)

⇒ OO’ là đường trung trực của AB ⇒ OO’ ⊥ AB tại H và H là trung điểm của AB.

Xét (triangle{ABK}), có:

I là trung điểm của AK ( vì K đối xứng với A qua I)

H là trung điểm của AB ( cmt)

⇒ IH là đường trung bình của tam giác ABK

⇒ IH // BK hay OO’ // BK

Mà OO’ ⊥ AB tại H

⇒ BK ⊥ AB tại B (đpcm)