1. BÀI TẬP 70 TRANG 40 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Tìm các giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi rút gọn thích hợp:

a) (sqrt{frac{25}{81}.frac{16}{49}.frac{196}{9}})

b) (sqrt{3frac{1}{16}.2frac{14}{25}.2frac{34}{81}})

c) (frac{sqrt{640}.sqrt{43,3}}{sqrt{567}})

d) (sqrt{21,6}). (sqrt{810}).(sqrt{11^2-5^2})

Giải:

a) (sqrt{frac{25}{81}.frac{16}{49}.frac{196}{9}})

= (sqrt{frac{25}{81}}).(sqrt{frac{16}{49}}).  (sqrt{frac{196}{9}})

= (frac{5}{9}).(frac{4}{7}).(frac{14}{3})

= (frac{5.4.14}{9.7.3})

= (frac{5.4.2}{9.3}) = (frac{40}{27})

b) (sqrt{3frac{1}{16}.2frac{14}{25}.2frac{34}{81}})

= (sqrt{frac{49}{16}.frac{64}{25}.frac{196}{81}})

= (sqrt{frac{49}{16}}).(sqrt{frac{64}{25}}).  (sqrt{frac{196}{81}})

= (frac{7}{4}).(frac{8}{5}).(frac{14}{9})

= (frac{7.8.14}{4.5.9}) = (frac{7.2.14}{5.9}) = (frac{196}{45})

c) (frac{sqrt{640}.sqrt{43,3}}{sqrt{567}})

=  (sqrt{frac{640.43,3}{567}})

= (sqrt{frac{64.433}{567}}) = (sqrt{frac{64.49.7}{81.7}})

= (sqrt{frac{64.49}{81}}) = (frac{8.7}{9}) = (frac{56}{9})

d) (sqrt{21,6}). (sqrt{810}).(sqrt{11^2-5^2})

= (sqrt{21,6.810}).(sqrt{(11-5)(11+5)})

= (sqrt{216.81}).(sqrt{6.16})= (sqrt{36.6.81}).(sqrt{6.16}) 

= (sqrt{36.6.6.81.16})

= (sqrt{36.36.81.16}) = (sqrt{36^2.9^2.4^2}) = 36.9.4 = 1296

2. BÀI TẬP 71 TRANG 40 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Rút gọn các biểu thức sau:

a) ((sqrt{8}) – 3(sqrt{2}) + (sqrt{10}))(sqrt{2})-(sqrt{5})

b) 0,2(sqrt{(-10)^2.3}) + 2(sqrt{(sqrt{3}-sqrt{5})^2})

c) ((frac{1}{2}).(sqrt{frac{1}{2}}) – (frac{1}{2}).(sqrt{2}) + (frac{4}{5}).(sqrt{200}) ): (frac{1}{8})

d) 2(sqrt{(sqrt{2}-3)^2}) + (sqrt{2.(-3)^2}) – 5((sqrt{(-1)^4})

Giải:

a) ((sqrt{8}) – 3(sqrt{2}) + (sqrt{10}))(sqrt{2})-(sqrt{5})

= (2(sqrt{2}) – 3(sqrt{2}) + (sqrt{10}))(sqrt{2})-(sqrt{5})

= ( – (sqrt{2}) + (sqrt{10}))(sqrt{2})-(sqrt{5})

= – (sqrt{2}).(sqrt{2}) + (sqrt{10}).(sqrt{2}) – (sqrt{5})

= -2 + (sqrt{20}) – (sqrt{5}) = -2 +2(sqrt{5}) -(sqrt{5})

= (sqrt{5}) -2

b) 0,2(sqrt{(-10)^2.3}) + 2(sqrt{(sqrt{3}-sqrt{5})^2})

= 0,2.10(sqrt{3}) + 2|(sqrt{3})-(sqrt{5})|

= 2(sqrt{3}) + 2((sqrt{5})-(sqrt{3}))

= 2(sqrt{3}) + 2(sqrt{5}) – 2(sqrt{3})

= 2(sqrt{5})

c) ((frac{1}{2}).(sqrt{frac{1}{2}}) – (frac{1}{2}).(sqrt{2}) + (frac{4}{5}).(sqrt{200}) ): (frac{1}{8})

= ((frac{1}{2}).(frac{sqrt{2}}{2}) – (frac{1}{2}).(sqrt{2}) + (frac{4}{5}).(sqrt{2.100}) ): (frac{1}{8})

=  ((frac{sqrt{2}}{4}) – (frac{sqrt{2}}{2}) + 10.(frac{4}{5}).(sqrt{2}) ): (frac{1}{8})

= ((frac{sqrt{2}}{4}) – (frac{sqrt{2}}{2}) + 8.(sqrt{2}) ): (frac{1}{8})

= ((frac{1}{4}) – (frac{1}{2}) + 8 ).(sqrt{2}): (frac{1}{8})

= (frac{31}{4}).(sqrt{2}) . 8 = 62(sqrt{2})

d) 2(sqrt{(sqrt{2}-3)^2}) + (sqrt{2.(-3)^2}) – 5((sqrt{(-1)^4})

= 2.(3-(sqrt{2})) + 3.(sqrt{2}) – 5.1

= 6 – 4(sqrt{2}) + 3.(sqrt{2}) – 5

=1- (sqrt{2})

3. BÀI TẬP 72 TRANG 40 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Phân tích thành nhân tử ( với các số x, y, a, b không âm và a ≥ b)

a) xy – y(sqrt{x}) + (sqrt{x}) – 1

b) (sqrt{ax}) – (sqrt{by}) + (sqrt{bx}) – (sqrt{ay})

c) (sqrt{a+b}) + (sqrt{a^2-b^2})

d) 12-(sqrt{x})-x

Giải:

a) xy – y(sqrt{x}) + (sqrt{x}) – 1

= y(sqrt{x})((sqrt{x}) – 1) + (sqrt{x}) – 1

= ((sqrt{x}) – 1)(y(sqrt{x}) + 1)

b) (sqrt{ax}) – (sqrt{by}) + (sqrt{bx}) – (sqrt{ay})

= ( (sqrt{ax}) + (sqrt{bx}) ) – ( (sqrt{by}) + (sqrt{ay}) )

= (sqrt{x})( (sqrt{a}) + (sqrt{b}) ) – (sqrt{y})( (sqrt{a}) + (sqrt{b}) )

= ( (sqrt{a}) + (sqrt{b}) )((sqrt{x})- (sqrt{y}))

c) (sqrt{a+b}) + (sqrt{a^2-b^2})

= (sqrt{a+b}) + (sqrt{(a+b)(a-b)})

= (sqrt{a+b}) + (sqrt{a-b}).(sqrt{a+b})

=(sqrt{a+b}) (1+ (sqrt{a-b}))

d) 12-(sqrt{x})-x

= – x – (sqrt{x}) + 12

= – x + 3(sqrt{x}) – 4(sqrt{x}) +12

= -(sqrt{x})((sqrt{x}) -3) -4((sqrt{x}) -3)

= ((sqrt{x}) -3)(-(sqrt{x}) -4)

4. BÀI TẬP 73 TRANG 40 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:

a) (sqrt{-9a}) – (sqrt{9 + 12a + 4a^2}) tại a = -9

b) 1+ (frac{3m}{m-2}sqrt{m^2-4m+m}) tại m = 1,5

c) (sqrt{1 – 10a + 25a^2}) – 4a tại a = (sqrt{2})

d) 4x-(sqrt{9x^2+6x+1}) tại x = – (sqrt{3})

Giải:

a) (sqrt{-9a}) – (sqrt{9 + 12a + 4a^2}) tại a = -9

=  (sqrt{-9a}) – (sqrt{(3+2a)^2}) 

= (sqrt{-9a}) – |3+2a|

Tại a = -9, ta có:

(sqrt{-9a}) – |3+2a| = (sqrt{-9.(-9)}) – |3+2.(-9)|

= (sqrt{81}) – |3-18|

= 9 – |-15| = 9 -15 = -6

Vậy tại a = -9 thì (sqrt{-9a}) – (sqrt{9 + 12a + 4a^2}) = -6

b) 1+ (frac{3m}{m-2}sqrt{m^2-4m+4}) tại m = 1,5

= 1+ (frac{3m}{m-2}sqrt{(m-2)^2})

= 1+ (frac{3m}{m-2}|)|m-2|

Tại m = 1,5, ta được:

1+ (frac{3m}{m-2}|)m-2| = 1+ (frac{3.1,5}{1,5-2}|)|1,5-2|

= 1+ (frac{4,5}{-0,5})|-0,5| = 1 – (frac{4,5}{-0,5}).0,5 = 1+ 4,5 = 5,5

Vậy tại m = 1,5 thì 1+ (frac{3m}{m-2}sqrt{m^2-4m+4}) = 5,5

c) (sqrt{1 – 10a + 25a^2}) – 4a tại a = (sqrt{2})

= (sqrt{(1-5a)^2}) – 4a

= |1-5a| -4a 

Tại a = (sqrt{2}), ta được:

|1-5a| -4a = |1-5(sqrt{2})| – 4(sqrt{2}) = 5(sqrt{2}) -1 – 4(sqrt{2})

= (sqrt{2}) -1

Vậy tại a = (sqrt{2}) thì (sqrt{1 – 10a + 25a^2}) – 4a  = (sqrt{2}) -1

d) 4x-(sqrt{9x^2+6x+1}) tại x = – (sqrt{3})

= 4x-(sqrt{(3x+1)^2})

= 4x – |3x+1|

Tại x = – (sqrt{3}), ta có:

4x – |3x+1| = 4.(- (sqrt{3})) – |3.(- (sqrt{3}))+1|

= -4(sqrt{3})- |3(sqrt{3})+1|

= -4(sqrt{3})- (3(sqrt{3})+1)

= -4(sqrt{3})- 3(sqrt{3}) – 1

= – 7(sqrt{3}) -1

Vậy tại x = – (sqrt{3}) thì 4x-(sqrt{9x^2+6x+1}) = – 7(sqrt{3}) -1

5. BÀI TẬP 74 TRANG 40 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Tìm x, biết:

a) (sqrt{(2x-1)^2}) = 3

b) (frac{5}{3})(sqrt{15x}) – (sqrt{15x}) -2 = (frac{1}{3})(sqrt{15x})

Giải:

a) (sqrt{(2x-1)^2}) = 3 (đk: với mọi giá trị x)

⇔ |2x-1| = 3

⇔ 2x-1 = 3 hoặc 2x-1 = -3

⇔ x = 2 ™  hoặc   x = -1(tm)

Vậy pt trên có 2 nghiệm S = {2 ; -1}

b) (frac{5}{3})(sqrt{15x}) – (sqrt{15x}) -2 = (frac{1}{3})(sqrt{15x}) (Đk: x ≥ 0 )

⇔ 5(sqrt{15x}) – 3(sqrt{15x}) – 6 = (sqrt{15x})

⇔ 5(sqrt{15x}) – 3(sqrt{15x}) – (sqrt{15x}) = 6

⇔ (sqrt{15x}) = 6

⇔ ((sqrt{15x})^2) = (6^2)

⇔ 15x = 36

⇔     x = (frac{36}{15})

⇔     x = (frac{12}{5}) ™

Vậy PT trên có nghiệm  x = (frac{12}{5})

6. BÀI TẬP 75 TRANG 40 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ((frac{2sqrt{3}-sqrt{6}}{sqrt{8}-2}) – (frac{sqrt{216}}{3})). (frac{1}{sqrt{6}}) = -1,5

b) ((frac{sqrt{14}-sqrt{7}}{1-sqrt{2}}) + (frac{sqrt{15}-sqrt{5}}{1-sqrt{3}})) : (frac{1}{sqrt{7}-sqrt{5}}) = -2

c) (frac{asqrt{b}+ bsqrt{a}}{sqrt{ab}}) : (frac{1}{sqrt{a}-sqrt{b}}) = a – b với a, b dương và a # b

d) (1+ (frac{a +sqrt{a}}{sqrt{a}+1}) )( 1- (frac{a -sqrt{a}}{sqrt{a}-1})) = 1- a với a ≥ 0 và a # 1

Giải:

a) ((frac{2sqrt{3}-sqrt{6}}{sqrt{8}-2}) – (frac{sqrt{216}}{3})). (frac{1}{sqrt{6}}) = -1,5

Xét VT = ((frac{2sqrt{3}-sqrt{6}}{sqrt{8}-2}) – (frac{sqrt{216}}{3})). (frac{1}{sqrt{6}})

= [(frac{sqrt{6}(sqrt{2}-1)}{2(sqrt{2}-1)}) – (frac{6sqrt{6}}{3})] .(frac{1}{sqrt{6}})

= ((frac{sqrt{6}}{2}) – 2(sqrt{6})) .(frac{1}{sqrt{6}})

= – 1,5(sqrt{6}) .(frac{1}{sqrt{6}}) = -1,5 = VP (đpcm)

b) ((frac{sqrt{14}-sqrt{7}}{1-sqrt{2}}) + (frac{sqrt{15}-sqrt{5}}{1-sqrt{3}})) : (frac{1}{sqrt{7}-sqrt{5}}) = -2

Xét VT = ((frac{sqrt{7}(sqrt{2}-1)}{1-sqrt{2}}) + (frac{sqrt{5}(sqrt{3}-1)}{1-sqrt{3}})) : (frac{1}{sqrt{7}-sqrt{5}})

= [(frac{-sqrt{7}(sqrt{2}-1)}{sqrt{2}-1}) + (frac{-sqrt{5}(sqrt{3}-1)}{sqrt{3}-1})] : (frac{1}{sqrt{7}-sqrt{5}})

= (-(sqrt{7}) – (sqrt{5})) : (frac{1}{sqrt{7}-sqrt{5}})

= – ( (sqrt{7}) + (sqrt{5})).( (sqrt{7}) -(sqrt{5}))

= – [ ((sqrt{7})^2) – ((sqrt{5})^2)]

= – (7-5) = -2 = VP (Đpcm)

c) (frac{asqrt{b}+ bsqrt{a}}{sqrt{ab}}) : (frac{1}{sqrt{a}-sqrt{b}}) = a – b với a, b dương và a # b

Xét VT = (frac{asqrt{b}+ bsqrt{a}}{sqrt{ab}}) : (frac{1}{sqrt{a}-sqrt{b}}) 

= (frac{sqrt{ab}(sqrt{a}+ sqrt{b})}{sqrt{ab}}) : (frac{1}{sqrt{a}-sqrt{b}}) 

=((sqrt{a}) + (sqrt{b})). ((sqrt{a}) – (sqrt{b})) = a – b = VP (Đpcm)

d) (1+ (frac{a +sqrt{a}}{sqrt{a}+1}) )( 1- (frac{a -sqrt{a}}{sqrt{a}-1})) = 1- a với a ≥ 0 và a # 1

Xét VT = (1+ (frac{a +sqrt{a}}{sqrt{a}+1}) )( 1- (frac{a -sqrt{a}}{sqrt{a}-1})) 

= [1+ (frac{sqrt{a}(sqrt{a}+1)}{sqrt{a}+1}) ][1- (frac{sqrt{a}(sqrt{a}-1)}{sqrt{a}-1})]

= (1 + (sqrt{a}))(1 – (sqrt{a})) = (1^2) – ((sqrt{a})^2) = 1 – a = VP (Đpcm)

7. BÀI TẬP 76 TRANG 40 SGK TOÁN 9 TẬP 1:

Cho biểu thức 

Q = (frac{a }{sqrt{a^2 -b^2}})  -( 1+ (frac{a }{sqrt{a^2-b^2}})) : (frac{b}{a -sqrt{a^2 -b^2}})  với a > b > 0

a) Rút gọn Q

b) Xác định giá trị của Q khi a = 3b

Giải:

a) Q = (frac{a }{sqrt{a^2 -b^2}})  -( 1+ (frac{a }{sqrt{a^2-b^2}})) : (frac{b}{a -sqrt{a^2 -b^2}})  với a > b > 0

⇔ Q = (frac{a }{sqrt{a^2 -b^2}})  – (frac{sqrt{a^2-b^2} + a }{sqrt{a^2-b^2}}).(frac{a -sqrt{a^2 -b^2}}{b})

⇔  Q = (frac{a }{sqrt{a^2 -b^2}})  – (frac{(sqrt{a^2-b^2} + a)(a -sqrt{a^2 -b^2})}{b.sqrt{a^2-b^2}})

⇔ Q = (frac{a }{sqrt{a^2 -b^2}})  – (frac{a^2-(sqrt{a^2-b^2})^2 }{b.sqrt{a^2-b^2}})

⇔ Q = (frac{a }{sqrt{a^2 -b^2}})  – (frac{a^2-(a^2-b^2) }{b.sqrt{a^2-b^2}})

⇔ Q = (frac{a }{sqrt{a^2 -b^2}})  – (frac{a^2-a^2+b^2}{b.sqrt{a^2-b^2}})

⇔   Q = (frac{a }{sqrt{a^2 -b^2}})  – (frac{b^2}{b.sqrt{a^2-b^2}})

⇔   Q = (frac{a }{sqrt{a^2 -b^2}})  – (frac{b}{sqrt{a^2-b^2}})

⇔   Q = (frac{a -b }{sqrt{a^2 -b^2}}) 

⇔   Q = (frac{sqrt{a – b} }{sqrt{a + b}}) 

b) Khi a = 3b, ta có:

Q = (frac{sqrt{a – b} }{sqrt{a + b}}) 

= (frac{sqrt{3b – b} }{sqrt{3b + b}}) 

= (frac{sqrt{2b} }{sqrt{4b}}) 

= (frac{sqrt{2}}{sqrt{4}}) = (frac{sqrt{2}}{2})

Vậy với a = 3b thì Q = (frac{sqrt{2}}{2})