Bài viết những hằng đẳng thức đáng nhớ bao gồm: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, các hằng đẳng thức mở rộng, các hằng đẳng thức tổng quát, các dạng bài tập áp dụng các hằng đẳng thức…

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Tóm tắt 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của 1 tổng bằng bình phương số thứ 1 cộng hai lần tích của số thứ nhất với số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

2. Bình phương của một hiệu

Bình phương của 1 hiệu bằng bình phương số thứ 1 trừ 2 lần tích số thứ nhất với số thứ 2 cộng với bình phương số thứ 2.

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu 2 bình phương bằng tích của tổng 2 số với hiệu 2 số.

4. Lập phương của một tổng

Lập phương của 1 tổng bằng lập phương số thứ 1 + 3 lần tích bình phương số thứ 1 với số thứ 2 + 3 lần tích số thứ 1 với bình phương số thứ 2 + lập phương số thứ 2.

5. Lập phương của một hiệu

Lập phương của 1 hiệu bằng lập phương số thứ 1 – 3 lần tích bình phương số thứ 1 với số thứ 2 + 3 lần tích số thứ 1 với bình phương số thứ 2 – lập phương số thứ 2.

6. Tổng hai lập phương

Tổng hai lập phương bằng tích giữa tổng 2 số với bình phương thiếu của 1 hiệu.

7. Hiệu hai lập phương

Hiệu 2 lập phương bằng tích giữa hiệu hai số với bình phương thiếu của 1 tổng.

Các hằng đẳng thức mở rộng

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 2

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 3

Hằng đẳng thức dạng tổng quát

với n là số lẻ thuộc tập N

Nhị thức Newton

Với

Các dạng toán áp dụng 7 hằng đẳng thức

• Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ:Tính giá trị của biểu thức : A = x² – 4x + 4 tại x = -1

* Lời giải.

– Ta có : A = x² – 4x + 4 = x² – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

– Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)²=(-3)²= 9

⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9

• Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)² + (x + 1)(3 – x)

* Lời giải.

– Ta có: A =(x – 1)² + (x + 1)(3 – x) = x² – 2x + 1 – x² + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.

• Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ:Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x² – 2x + 5

* Lời giải:

– Ta có : A = x² – 2x + 5 = (x² – 2x + 1) + 4 = (x – 1)² + 4

– Vì (x – 1)² ≥ 0 với mọi x.

⇒ (x – 1)² + 4 ≥ 4 hay A ≥ 4

– Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1

⇒ Kết luận GTNN của A là: A_min = 4 ⇔ x = 1

• Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ví dụ:Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x²

* Lời giải:

– Ta có : A = 4x – x² = 4 – 4 + 4x – x² = 4 – (4 – 4x + x²) = 4 – (x² – 4x + 4) = 4 – (x – 2)²

– Vì (x – 2)² ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)² ≤ 0 với mọi x

⇔ 4 – (x – 2)² ≤ 4 [cộng 2 vế với 4]

⇔ A ≤ 4 Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2

⇒ Kết luận GTLN của A là: A_max = 4 ⇔ x = 2.

• Dạng 5 : Chứng minh đẳng thức bằng nhau

Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)

* Lời giải:

– Đối với dạng toán này chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A

– Ta có: VT = (a + b)³ – (a – b)³

= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – (a³ – 3a²b + 3ab² – b³)

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ + 3a²b – 3ab² + b³

= 6a²b + 2b³

= 2b(3a² + b²) = VP (đpcm).

⇒ Kết luận, vậy : (a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)

Dạng 6 : Chứng minh bất đẳng thức

– Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.

Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức A nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến, biết: A = x² – x + 1

* Lời giải:

– Ta có:
– Vì nên

• Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ 1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x² – 4x + 4 – y²

* Lời giải:

– Ta có : A = x² – 4x + 4 – y² [để ý x² – 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức]

= (x² – 4x + 4) – y² [nhóm hạng tử]

= (x – 2)² – y² [xuất hiện đẳng thức số A² – B²]

= (x – 2 – y )( x – 2 + y)

⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

• Dạng 8: Tìm giá trị của x

Ví dụ:Tìm giá trị củ x biết: x²( x – 3) – 4x + 12 = 0

* Lời giải.

x²(x – 3) – 4x + 12 = 0

⇔ x²(x – 3) – 4(x – 3) = 0

⇔ (x – 3) (x² – 4) = 0

⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2

⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

• Dạng 9 : Thực hiện phép tính phân thức

Ví dụ:Tính giá trị của phân thức tại

* Lời giải:

– Ta có :

– Khi :
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!