[ad_1]
Ibaitap: Qua bài [Định nghĩa] [Tính chất] [Công thức] Lũy thừa cùng tổng hợp lại các kiến thức về lũy thừa và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.
I. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN
Lũy thừa với số mũ nguyên dương
Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n (n là số nguyên dương) của a là tích của n thừa số a.
({{a}^{n}}=underbrace{a.a……a}_{n}) (n là thừa số)
Trong đó: a là cơ số, n là số mũ
Lũy thừa với số mũ nguyên âm và 0
Với a ≠ 0 thì ({{a}^{0}}=1,{{a}^{1}}=a,{{a}^{-n}}=frac{1}{a},{{a}^{-1}}=frac{1}{a})
Chú ý:
- ({{0}^{0}},{{0}^{-n}}) không có nghĩa.
- Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
- Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a ≠ 0.
- Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
II. PHƯƠNG TRÌNH ({{x}^{n}}=b)
Xét phương trình ({{x}^{n}}=b), ta có kết quả biện luận số nghiệm như sau:
Trường hợp n lẻ: Với mọi số thực b, phương trình ({{x}^{n}}=b) có nghiệm duy nhất.
Trường hợp n chẵn:
- (b<0): phương trình vô nghiệm.
- (b=0): phương trình có một nghiệm (x=0).
- (b>0): phương trình có hai nghiệm trái dấu (x=pmsqrt[n]{b}).
III. CĂN BẬC N
Khái niệm:
Cho n là số nguyên dương (nleft( nge 2 right)) và số thực a. Nếu ({{a}^{n}}=b) thì a là căn bậc n của b
Tính chất:
- (sqrt[n]{a}.sqrt[n]{b}=sqrt[n]{ab})
- (sqrt[2n+1]{{{a}^{2n+1}}}=a,forall a)
- (frac{sqrt[n]{a}}{sqrt[n]{b}}=sqrt[n]{frac{a}{b}})
- (sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{left( sqrt[n]{a} right)}^{m}})
- (sqrt[n]{sqrt[m]{a}}=sqrt[nm]{a})
- Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì (sqrt[n]{a}<sqrt[n]{b})
- Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì (sqrt[n]{a}<sqrt[n]{b})
IV. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ
Với a là số thực dương và số hữu tỉ (r=frac{m}{n}), trong đó (m in Z,n in N,n ge 2), ta có:
({{a}^{r}}={{a}^{frac{m}{n}}}=sqrt[n]{{{a}^{m}}})
Chú ý: ({{a}^{frac{1}{n}}}=sqrt[n]{a}).
V. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỈ
Với a là một số dương, α là một số vô tỉ, ta có dãy số hữu tỉ:
({{a}^{alpha }}=underset{nto +infty }{mathop{lim }},{{a}^{{{r}_{n}}}}) với (alpha =underset{nto +infty }{mathop{lim }},{{r}_{n}}).
VI. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA
Cho a, b là các số thực dương; α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có tính chất của lũy thừa:
- ({{a}^{alpha }}.{{a}^{beta }}={{a}^{alpha +beta }}).
- (frac{{{a}^{alpha }}}{{{a}^{beta }}}={{a}^{alpha -beta }}).
- ({{left( {{a}^{alpha }} right)}^{beta }}={{a}^{alpha beta }}).
- ({{(ab)}^{alpha }}={{a}^{alpha }}{{a}^{beta }}).
- ({{left( frac{a}{b} right)}^{alpha }}=frac{{{a}^{alpha }}}{{{b}^{alpha }}}).
- Nếu a>1 thì ({{a}^{alpha }}>{{a}^{beta }}Leftrightarrow alpha >beta).
- Nếu 0<a<1 thì ({{a}^{alpha }}>{{a}^{beta }}Leftrightarrow alpha <beta).
VII. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ LŨY THỪA
Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau: (frac{{{a}^{frac{4}{3}}}left( {{a}^{frac{-1}{3}}}+{{a}^{frac{2}{3}}} right)}{{{a}^{frac{1}{4}}}left( {{a}^{frac{3}{4}+{{a}^{frac{-1}{4}}}}} right)}); (frac{{{a}^{frac{1}{3}}}sqrt{b}+{{b}^{frac{1}{3}}}sqrt{a}}{sqrt[6]{a}+sqrt[6]{b}}).
Lời giải tham khảo:
a) (frac{{{a}^{frac{4}{3}}}left( {{a}^{frac{-1}{3}}}+{{a}^{frac{2}{3}}} right)}{{{a}^{frac{1}{4}}}left( {{a}^{frac{3}{4}+{{a}^{frac{-1}{4}}}}} right)})
(=frac{{{a}^{frac{4}{3}}}{{a}^{frac{-1}{3}}}+{{a}^{frac{4}{3}}}{{a}^{frac{2}{3}}}}{{{a}^{frac{1}{4}}}{{a}^{frac{3}{4}}}+{{a}^{frac{1}{4}}}{{a}^{frac{-1}{4}}}})
(=frac{aleft( 1+a right)}{a+1}=a)
b) (frac{{{a}^{frac{1}{3}}}sqrt{b}+{{b}^{frac{1}{3}}}sqrt{a}}{sqrt[6]{a}+sqrt[6]{b}} =frac{{{a}^{frac{1}{3}}}{{b}^{frac{1}{2}}}+{{b}^{frac{1}{3}}}{{a}^{frac{1}{2}}}}{{{a}^{frac{1}{6}}}+{{b}^{frac{1}{6}}}})
(=frac{{{a}^{frac{1}{3}}}{{b}^{frac{1}{2}}}+{{b}^{frac{1}{3}}}{{a}^{frac{1}{2}}}}{{{a}^{frac{1}{6}}}+{{b}^{frac{1}{6}}}}=frac{{{a}^{frac{2}{6}}}{{b}^{frac{3}{6}}}+{{b}^{frac{2}{6}}}{{a}^{frac{3}{6}}}}{{{a}^{frac{1}{6}}}+{{b}^{frac{1}{6}}}})
(=frac{{{a}^{frac{2}{6}}}{{b}^{frac{2}{6}}}left( {{a}^{frac{1}{6}}}+{{b}^{frac{1}{6}}} right)}{{{a}^{frac{1}{6}}}+{{b}^{frac{1}{6}}}}={{a}^{frac{2}{6}}}{{b}^{frac{2}{6}}}={{a}^{frac{1}{3}}}{{b}^{frac{1}{3}}})
(=sqrt[3]{ab})
[ad_2]