Ibaitap: Qua bài [Định nghĩa] [Tính chất] [Bảng Công thức] Nguyên hàm cùng tổng hợp lại các kiến thức về nguyên hàm và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.

I.  ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D (D là khoảng hoặc đoạn hay nửa khoảng thuộc R), hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) nếu đạo hàm của F(x) bằng f(x) với mọi x thuộc D.

Ví dụ: Hàm F(x) = x² là nguyên hàm của hàm số y = 2x trên R vì F’(x) = f(x).

Họ nguyên hàm:

• Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên D thì F(x) + C (trong đó C là hằng số) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên D.
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên D thì mọi nguyên hàm của f(x) trên D đều sẽ có dạng F(x) + C (trong đó C là hằng số), khi đó F(x) + C được gọi là họ nguyên hàm của f(x) trên D: 

Chú ý: Vì (dFleft( x right)=F’left( x right)dx=fleft( x right)dx) nên (fleft( x right)dx) chính là vi phân của nguyên hàm F(x), f(x).

II.  TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM

Ta có tính chất của nguyên hàm là:

• (int{f’left( x right)dtext{x}}=fleft( x right)+C).
• (int{kfleft( x right)dtext{x}}=kint{fleft( x right)dtext{x}}) với k  là hằng số khác 0.

• (int{left[ fleft( x right)pm gleft( x right) right]dtext{x}}=int{fleft( x right)dtext{x}}pm int{gleft( x right)dtext{x}}).
• Mọi hàm số f(x) liên tục trên D xác định đều có nguyên hàm trên D.

III. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

‍

‍

‍

‍

IV.  BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ NGUYÊN HÀM

Ví dụ:  Tính nguyên hàm: (I =int{sin 2xdx}).

Lời giải tham khảo:

(I =int{sin 2xdx})

=(int{2sin xcos xdx})

=(2int{sin xdleft( sin x right)})

=(2.frac{1}{2}{{sin }^{2}}x+C)

=({{sin }^{2}}x+C)