Parabol: định nghĩa đường Parabol, phương trình Parabol, phương trình chính tắc của parabol, xác định tọa độ đỉnh của parabol…

Định nghĩa đường parabol

Cho một điểm F cố định và một đường thẳng cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều F và được gọi là đường parabol (hay parabol) (h. 92).

Điểm F được gọi là  tiêu điểm  của parabol.

Đường thẳng  được gọi là  đường chuẩn của parabol.

Khoảng cách từ F đến được gọi là tham số tiêu  của parabol.

Ta có thể vẽ parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn  như sau (h. 93) : Lấy một êke ABC (vuông ở A) và một đoạn dây không đàn hồi, có độ dài bằng AB. Đính một đầu dây vào điểm F, đầu kia vào đỉnh B của êke. Đặt êke sao cho cạnh AC nằm trên , lấy đầu bút chì ép sát sợi dây rồi cho cạnh AC của êke trượt trên . Khi đó đầu M của bút chì sẽ vạch nên một phần của parabol (vì ta luôn có MF = MA).

Phương trình Parabol

Phương trình Parabol được biểu diễn như sau:

Hoành độ của đỉnh là

Thay tọa độ trục hoành vào phương trình, ta tìm được hoành độ Parabol có công thức dưới dạng:

Phương trình chính tắc của parabol

Phương trình chính tắc của parabol được biểu diễn dưới dạng:

Chứng minh:

Cho parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn .

Kẻ . Đặt FP = p.

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của FP và điểm F nằm trên tia Ox.

Suy ra ta có

Và phương trình của đường thẳng là

Điểm M(x ; y) nằm trên parabol đã cho khi và chỉ khi khoảng cách MF bằng khoảng cách từ M tới , tức là:

Bình phương 2 vế của đẳng thức rồi rút gọn, ta được phương trình chính tắc của parabol:

Chú ý: Ở môn đại số, chúng ta gọi đồ thị của hàm số bậc hai là một đường parabol.

Xác định tọa độ đỉnh của parabol

Ví dụ: Xác định tọa độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của mỗi parabol.

a)

b)

Hướng dẫn:

a) . Có hệ số: a = 1, b = – 3, c = 2.

= (-3).2 – 4.1.2 = – 1

Tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số

Hoành độ đỉnh

Tung độ đỉnh

Vậy đỉnh parabol là

Cho x = 0 → y = 2 ⇒ A(0; 2) là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

Cho y = 0 ↔ ⇔

Suy ra B(1; 0) và C(2; 0) là giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.

b) Cho . Có a = -2 , b = 4, c = -3

Δ = = 42 – 4. (-2).(-3) = – 8

Tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số

Hoành độ đỉnh

= b2 – 4ac = – 4. (-2).(-3) = – 8 < 0.

Phương trình vô nghiệm ⇒ không tồn tại giao điểm của hàm số với trục hoành.

Ví dụ parabol

Xác định parabol y = ax² + bx + 2, biết rằng parabol đó:

a) Đi qua hai điểm M(1; 5) và N(- 2; 8);

b) Đi qua hai điểm A(3;- 4) và có trục đối xứng là x=-3/2

c) Có đỉnh là I(2;- 2);

d) Đi qua điểm B(- 1; 6) và tung độ của đỉnh là -1/4

Hướng dẫn.

a) M(1; 5) ∈ (P) nên tọa độ của M thỏa mãn parabol:y_M = ax_M² + bx_M + 2 ↔ 5 = a.1² + b.1 + 2. (1)

N(- 2; 8) ∈ (P) nên tọa độ của N thỏa mãn parabol:y_N = ax_N² + bx_N + 2 ↔ 8 = a.(- 2)² + b.(- 2) + 2 (2)

Giải hệ phương trình:(1) và (2) ta được a = 2, b = 1.

Vậy Parabol có phương trình là: y = 2x² + x + 2.

b) Đi qua điểm A(3;- 4) và có trục đối xứng là x=-3/2

• A(3;- 4) ∈ (P) nên tọa độ của A thỏa mãn parabol:y_A = ax_A² + bx_A + 2 ↔ -4 = a.3² + b.3 + 2 (1)
• y = ax² + bx + 2 có trục đối x = -b/2a ↔ -3/2 = -b/2a ↔ b = 3a (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta có a = -1/3, b = -1

Parabol: y = -1/3x² – x + 2.

c) Cho hàm số y = ax² + bx + 2

Tọa độ đỉnh của hàm số là I(-b/2a; -Δ/4a). Theo đề bài cho tọa độ đỉnh là I(2;- 2)

• -b/2a = 2 ↔ -b = 4a (1)
• -Δ/4a = – 2 ↔ -(b² – 8a )= -8a (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta thu được kết quả là b = 0 và b = -4

với b = 0 → a = 0 → y = 2 là 1 đường thẳng (loại)

với b = -4 → a = 1

Kết luận Parabol cần tìm là Parabol: y = x² – 4x + 2.

d) Đi qua điểm B(- 1; 6) và tung độ của đỉnh là -1/4

• B(- 1; 6) ∈ (P) nên tọa độ của B thỏa mãn parabol:y_B = ax_B² + bx_B + 2 ↔ 6 = a.(-1)² + b.(-1) + 2
• Tọa độ đỉnh I(-b/2a; -Δ/4a) tung độ của tọa độ đỉnh là y_I = -Δ/4a = -1/4 ↔ – (b² – 8a )= -a (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2) thu được kết quả

• a = 16 →b = 12
• a = 1 → b = -3

Parabol: y = 16x² + 12x + 2 hoặc y = x² – 3x + 2.
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!