Ibaitap: Định lý Pytago (tên Tiếng Anh – Pythagorean theorem) là liên hệ căn bản trong hình học Euclid (hay còn gọi là hình học Ơclit) giữa 3 cạnh trong 1 tam giác vuông (tam giác có 1 góc bằng 90°). Định lý Pytago được phát biểu theo 2 chiều thuận và ngược, cùng tìm hiểu cách phát biểu, công thức, cách chứng minh và hệ quả của định lý Pytago.

I. ĐỊNH LÝ PYTAGO THUẬN

1. Phát biểu định lý

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông đó.

2. Công thức

Cho △ABC vuông tại A, ta có công thức định lý Pytago như sau:

BC² = AB² + AC²
hay c² = a² + b²

Trong đó:

• a, b: tương ứng với độ dài hai cạnh góc vuông AB, AC.
• c :  tương ứng với độ dài cạnh huyền AB.

3. Chứng minh

Có rất nhiều cách chứng minh định lý Pytago: Chứng minh sử dụng các tam giác đồng dạng, chứng minh theo Euclid, chứng minh bằng cách chia hình và ghép lại, chứng minh bằng đại số, chứng minh bằng vi tích phân… Sau đây là hai cách cơ bản để chứng minh định lý Pytago:

Chứng minh sử dụng các tam giác đồng dạng:

Ta có: △ABC vuông tại A (góc A = 90°), kẻ AH vuông góc với BC tại H

Xét △ABH và △CAB, ta có:

• (widehat{AHB}= widehat{CAB} ) = 90°.
• Chung góc (widehat{CBA}.

⇒ △ABH (sim) △CAB (g.g).

⇒ (frac{AB}{BC}= frac{BH}{BC})

⇒ AB² = BH. BC.

Cmtt với △ACH và △BCA, ta có:

⇒ AC² = CH. BC.

Ta có: AB² + AC² = BH. BC + CH. BC = BC. (CH + BH) = BC² (đpcm).

Chứng minh bằng cách chia hình và ghép lại:

Nhà toán học Pytago đã chứng minh định lý một cách rất đơn giản chỉ bằng cách chia hình và sắp xếp lại hình vẽ như sau:

Trong hai hình vuông lớn bằng nhau, mỗi hình vuông lớn đều chứa bốn tam giác vuông bằng nhau. Các tam giác vuông được bố trí khác nhau bên trong hai hình vuông lớn tạo ra khoảng trắng bên trong mỗi hình vuông đều có diện tích bằng nhau. Dựa vào hình vẽ trên, hai vùng trắng có diện tích bằng nhau cho phép ta rút ra được kết luận của định lý Pytago.

II. ĐỊNH LÝ PYTAGO ĐẢO

1. Phát biểu định lý

Trong một tam giác, nếu bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

2. Công thức

Xét △ABC có: BC² = AB² + AC².

⇒ △ABC vuông tại A.

3. Chứng minh

Ta có thể chứng minh định lý đảo Pytago như sau:

Gọi △ABC có các cạnh a, b, c, với c² = a² + b². 

Dựng △MNP có các cạnh bằng a và b và góc vuông tạo bởi giữa chúng. 

Theo định lý Pytago thuận, cạnh huyền của △MNP vuông bằng (c=sqrt {a^2 +b^2}), và bằng với cạnh còn lại của △ABC. 

Vì △ABC và △MNP có ba cạnh tương ứng cùng bằng chiều dài a, b và c.

⇒ △ABC = △MNP.

⇒ Góc giữa các cạnh a và b ở △ABC phải là góc vuông.

⇒ △ABC vuông.

4. Hệ quả

Hệ quả của định lý Pytago đảo là giúp ta xác định được một tam giác là tam giác vuông, tam giác nhọn hay tam giác tù.

Gọi c là cạnh dài nhất của tam giác và có a + b > c (bất đẳng thức trong tam giác hay điều kiện của tam giác).

• Nếu c² = a² + b² ⇒ tam giác là tam giác vuông.
• Nếu c² < a² + b²  ⇒ tam giác là tam giác nhọn.
• Nếu c² > a² + b²  ⇒ tam giác là tam giác tù.

III. CÁCH ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ PITAGO

Sau đây là các cách áp dụng định lý Pytago:

Tìm cạnh tam giác vuông

Định lý Pitago áp dụng cho các trường hợp là tam giác vuông:.

• Bước 1: Xác định tam giác chứa cạnh cần tìm là tam giác vuông. 
• Bước 2: Gọi a và b là các cạnh góc vuông, c là cạnh huyền của tam giác vuông đó. 
• Bước 3: Xác định đề bài cần tìm cạnh tam giác nào.  
• Bước 4: Áp dụng định lý Pytago, thay hai giá trị đã biết vào phương trình c² = a² + b². 
• Bước 5: Tính độ dài cạnh cần tìm và kết luận.

Tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng xy

• Bước 1: Xác định hai điểm đã cho trong mặt phẳng XY với ((x_1, y_1)) là điểm đầu tiên và ((x_2, y_2)) là điểm thứ hai.
• Bước 2: Vẽ hai điểm đó trên đồ thị: mỗi tọa độ (x, y) luôn được gắn liền với trục hoành và trục tung. 
• Bước 3: Tìm chiều dài các cạnh góc vuông của tam giác: Sử dụng công thức (|x_1 – x_2|) là chiều dài cạnh nằm ngang và (|y_1 – y_2|) chiều dài cạnh thẳng đứng. 
• Bước 4: Áp dụng định lý Pytago để giải phương trình c² = a² + b² để tìm ra cạnh huyền hay khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng xy.

IV. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ ĐỊNH LÝ PYTAGO

Bài tập: Cho △ABC có AB = 5, AC = 13, BC = 12. Chứng minh △ABC vuông tại B.

Lời giải tham khảo:

Xét △ABC, áp dụng định lý Pytago đảo ta có: 5² + 12² = 13².

⇒ △ABC vuông.

Mà theo đề bài AC = 13 có chiều dài lớn nhất △ABC, đối diện với (widehat{B}).

⇒ △ABC vuông tại B.