Cách xác định và phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng

[ad_1]

Bài viết góc giữa 2 mặt phẳng bao gồm: cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng, tính góc giữa 2 mặt phẳng, công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng, góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian oxyz…

Định nghĩa góc giữa 2 mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng

TH1: Hai mặt phẳng $left( P right),left( Q right)$ song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng ${0^0}$ .

TH2: Hai mặt phẳng $left( P right),left( Q right)$ không song song hoặc trùng nhau.

Cách 1:

+) Dựng hai đường thẳng $n,p$ lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng $left( P right)$ và $left( Q right)$ .

+) Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng $left( P right)$ và $left( Q right)$ là góc giữa hai đường thẳng $n,p$ .

Cách 2:

+) Xác định giao tuyến $Delta$ của hai mặt phẳng $left( P right),left( Q right)$ .

+) Tìm một mặt phẳng $left( R right)$ vuông góc $Delta$ và cắt và hai mặt phẳng theo các giao tuyến $a,b$ .

+) Góc giữa hai mặt phẳng $left( P right),left( Q right)$ là góc giữa $a$ và $b$ .

Phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng

Bài toán: Cho hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ cắt nhau, tính góc giữa hai mặt phẳng $(α)$ và $(β).$

Ta áp dụng một trong các phương pháp sau đây:

Phương pháp 1
Dựng hai đường thẳng $a$ , $b$ lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng $left( alpha right)$ và $left( beta right)$ . Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng $left( alpha right)$ và $left( beta right)$ là $left( {widehat {left( alpha right),left( beta right)}} right) = left( {widehat {a,b}} right).$ Tính góc $left( {widehat {a,b}} right).$

Phương pháp 2
+ Xác định giao tuyến $c$ của hai mặt phẳng $left( alpha right)$ và $left( beta right).$
+ Dựng hai đường thẳng $a$ , $b$ lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến $c$ tại một điểm trên $c.$ Khi đó: $left( {widehat {left( alpha right),left( beta right)}} right) = left( {widehat {a,b}} right).$

Hiểu cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ $left( gamma right)$ vuông góc với giao tuyến $c$ mà $left( alpha right) cap left( gamma right) = a$ , $left( beta right) cap left( gamma right) = b.$ Suy ra $left( {widehat {left( alpha right),left( beta right)}} right) = left( {widehat {a,b}} right).$

Phương pháp 3 (trường hợp đặc biệt)

Nếu có một đoạn thẳng nối hai điểm $A$ , $B$ $left( {A in left( alpha right), B in left( beta right)} right)$ mà $AB bot left( beta right)$ thì qua $A$ hoặc $B$ ta dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến $c$ của hai mặt phẳng tại $H.$ Khi đó $left( {widehat {left( alpha right),left( beta right)}} right) = widehat {AHB}.$

Bài tập ví dụ tính góc giữa 2 mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ cạnh đáy $ABCD$ bằng $a$ và $SA = SB = SC = SD = a.$ Tính $cosin$ góc giữa hai mặt phẳng $left( {SAB} right)$ và $left( {SAD} right).$

Lời giải:

Gọi $I$ là trung điểm $SA.$ Do tam giác $SAD$ và $SAB$ đều nên:
$left{ begin{array}{l} BI bot SA\ DI bot SA end{array} right.$ $Rightarrow left( {widehat {left( {SAB} right),left( {SAD} right)}} right) = left( {widehat {BI,DI}} right).$
Áp dụng định lý $cosin$ cho tam giác $BID$ ta có:
$cos widehat {BID} = frac{{I{B^2} + I{D^2} - B{D^2}}}{{2IB.ID}}$ $= frac{{{{left( {frac{{sqrt 3 }}{2}a} right)}^2} + {{left( {frac{{sqrt 3 }}{2}a} right)}^2} - {{left( {asqrt 2 } right)}^2}}}{{2.frac{{sqrt 3 }}{2}a.frac{{sqrt 3 }}{2}a}}$ $= - frac{1}{3}.$
Vậy $cos left( {widehat {left( {SAB} right),left( {SAD} right)}} right) = frac{1}{3}.$

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính $AB = 2a$ , $SA$ vuông góc với $left( {ABCD} right)$ và $SA = asqrt 3 .$ Tính góc giữa hai mặt phẳng $left( {SBC} right)$ và $left( {SCD} right).$

Lời giải:

Vì $ABCD$ là nửa lục giác đều nên $AD = DC = CB = a.$
Dựng đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $left( {SCD} right).$
Trong mặt phẳng $left( {ABCD} right)$ dựng $AH bot CD$ tại $H$ $Rightarrow CD bot left( {SAH} right).$
Trong mặt phẳng $left( {SAH} right)$ dựng $AP bot SH$ $Rightarrow CD bot AP$ $Rightarrow AP bot left( {SCD} right).$
Dựng đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $left( {SBC} right).$
Trong mặt phẳng $left( {SAC} right)$ dựng $AQ bot SC.$
Lại có $AQ bot BC$ vì $left{ begin{array}{l} BC bot AC\ BC bot SA end{array} right.$ $Rightarrow BC bot left( {SAC} right)$ $Rightarrow BC bot AQ.$
Vậy $AQ bot left( {SBC} right).$

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $left( {SBC} right)$ và $left( {SCD} right)$ là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy là $AP$ và $AQ.$
Ta tính góc $widehat {PAQ}$ , có $AH = sqrt {A{D^2} - H{D^2}}$ $= sqrt {{a^2} - frac{{{a^2}}}{4}} = frac{{asqrt 3 }}{2}.$
$Rightarrow frac{1}{{A{P^2}}} = frac{1}{{A{S^2}}} + frac{1}{{A{H^2}}}$ $Rightarrow AP = frac{{asqrt 3 }}{{sqrt 5 }}.$
Tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$ $Rightarrow AQ = frac{{SC}}{2} = frac{{asqrt 6 }}{2}.$
$Delta APQ$ vuông tại $P$ $Rightarrow cos widehat {PAQ} = frac{{AP}}{{AQ}} = frac{{sqrt {10} }}{5}$ $Rightarrow widehat {PAQ}$ $= arccos frac{{sqrt {10} }}{5}.$

Ví dụ 3. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân với $BA = BC = a$ , $SA bot left( {ABC} right)$ , $SA = a.$ Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, AC.$ Tính $cosin$ góc giữa hai mặt phẳng $left( {SEF} right)$ và $left( {SBC} right).$

Lời giải:

Nhận xét: Giao tuyến của hai mặt phẳng $left( {SEF} right)$ và $left( {SBC} right)$ là đường thẳng $St$ đi qua $S$ và song song với $EF$ và $BC$ nên ta xác định hai đường thẳng qua $S$ và lần lượt nằm trong hai mặt phẳng $left( {SEF} right)$ và $left( {SBC} right)$ và cùng vuông góc với $St$ (ta đi chứng minh hai đường thẳng đó là $SE$ và $SB$ ).

Vì $left{ begin{array}{l} EF subset left( {SEF} right)\ BC subset left( {SBC} right)\ EF {rm{//}} BC end{array} right.$ $⇒$ giao tuyến của $left( {SEF} right)$ và $left( {SBC} right)$ là đường thẳng qua $S$ , song song với $BC$ , là $St.$

Ta có $left{ begin{array}{l} BC bot AB\ BC bot SAleft( {vì SA bot left( {ABC} right)} right) end{array} right.$ $Rightarrow BC bot left( {SAB} right)$ $Rightarrow BC bot SB$ hay $St bot SB.$
Tương tự $EF bot left( {SAE} right)$ $Rightarrow EF bot SE$ mà $EF {rm{//}} St$ $Rightarrow St bot SE.$
Vậy $SB$ và $SE$ cùng đi qua $S$ và cùng vuông góc với $St$ nên góc giữa hai mặt phẳng $left( {SEF} right)$ và $left( {SBC} right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $SE.$
Ta tính góc $widehat {BSE}.$
Có $SE = sqrt {S{A^2} + A{E^2}} = frac{{asqrt 5 }}{2}$ ; $SB = sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = asqrt 2$ ; $BE = frac{a}{2}.$
Theo định lí $cosin$ ta có: $cos widehat {BSE} = frac{{S{E^2} + S{B^2} - B{E^2}}}{{2.SE.SB}}$ $= frac{3}{{sqrt {10} }}$ $Rightarrow widehat {BSE} = arccos frac{3}{{sqrt {10} }}.$
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!