[ad_1]
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Xét đường tròn tâm I(a, b) có bán kính R, ta có phương trình đường tròn là:
(x – a)² + (y – b)² = R²
Xét phương trình tổng quát của đường tròn tâm I(a, b) có bán kính R là:
x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 trong đó ( R= sqrt{a^2+b^2-c}) (đk: a² + b² – c > 0)
II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Xét đường tròn tâm I(a, b), cho điểm ( M_o(x_o; y_o)) thuộc đường tròn (I), gọi ∆ là tiếp tuyến với (I) tại Mo, ta có phương trình tiếp tuyến ∆:
(∆): ( (x_o-a).(x-x_o)+(y_o-b).(y-y_o)=0)
III. CÁCH DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn, xác định tâm và bán kính của đường tròn.
Cách 1:
Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: (C) (x – a)² + (y – b)² = m.
Bước 2: Xét m:
- Nếu m < 0 ⇒ (C) không phải là phương trình đường tròn.
- Nếu m > 0 ⇒ (C) là phương trình đường tròn tâm I(a, b) có bán kính ( R= sqrt{m}).
Cách 2:
Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: (C) x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.
Bước 2: Xét m = a² + b² – c:
- Nếu m ≤ 0 ⇒ (C) không phải là phương trình đường tròn.
- Nếu m > 0 ⇒ (C) là phương trình đường tròn tâm I(a, b) có bán kính ( R= sqrt{a^2+b^2-c}).
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm cho trước
Cách 1:
Bước 1: Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C) đi qua 2 điểm A, B cho trước ⇔ IA² = IB² = R².
Bước 2: Dựa vào tọa độ tâm I tìm được bán kính R đường tròn (C): IA² = IB² = R².
Bước 3: Viết phương trình (C) có dạng: (x – a)² + (y – b)² = R².
Cách 2:
Bước 1: Ta có phương trình tổng quát đường tròn (C) cần tìm là: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.
Bước 2: Từ điều kiện của bài toán đã cho thiết lập hệ phương trình 3 ẩn a, b, c.
Bước 3: Giải hệ phương trình tìm a, b, c thay vào phương trình đường tròn (C): x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.
Dạng 3:Viết phương trình đường tròn khi tiếp xúc với đường thẳng cho trước.
Dựa vào các tính chất của tiếp tuyến đường tròn:
- Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) d(I,Δ) = R.
- Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) tại điểm A ⇔ d (I,Δ) = IA = R.
- Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng (Δ1) và (Δ2) ⇔ d (I,Δ1) = d (I,Δ2) = R.
Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết phương trình đường tròn cho trước.
Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn tại điểm ( M_o(x_o; y_o)) thuộc đường tròn (C) cho trước:
Bước 1: Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C) cho trước.
Bước 2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại ( M_o(x_o; y_o)) có dạng: ( (x_o-a).(x-x_o)+(y_o-b).(y-y_o)=0)
Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn khi chưa biết tiếp điểm:
Dựa vào tính chất của tiếp tuyến đường tròn (C) tâm I, bán kính R ⇔ d (I, ∆) = R.
Dạng 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
III. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC
Ví dụ: Phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(4;-1), B(0;3), C(4;7). Lập phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm A.
Lời giải tham khảo:
Ta có phương trình tổng quát đường tròn (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.
Vì (C) đi qua 3 điểm A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào phương trình đường tròn (C) ta có hệ sau:
(left{begin{matrix} 4^2 + (-1)^2 – 2a.4 – 2b.(-1) + c = 0\ 0^2 + 3^2 – 2a.0 – 2b.3 + c = 0\ 4^2 + 7^2 – 2a.4 – 2b.7 + c = 0 end{matrix}right. Leftrightarrowleft{begin{matrix} -8a+2b+c=-17\ -2b+c=-9\ -8a-14b+c=-65 end{matrix}right. )
(Leftrightarrow left{begin{matrix} a=4\ b=3\ c=-9 end{matrix}right.)
⇒ Đường tròn (C) có tâm I(4;3).
Phương trình đường tròn (C) là: (x – 4)² + (y – 3)² = 16.
Đường tròn (C) có tâm I(4;3) có tiếp tuyến (∆) tại điểm A(4;-1):
⇒ = (4 – 4).(x – 4) + (-1 – 3).(y +1) = 0 ⇔ y = -1
Phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm A: y = -1
[ad_2]