I. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC LÀ GÌ

Đường tròn nội tiếp tam giác hay tam giác ngoại tiếp đường tròn là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác.

Đường tròn nội tiếp tam giác có tính chất:

• Mỗi một tam giác chỉ có duy nhất 1 đường tròn nội tiếp.
• Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường phân giác của tam giác đó do đó bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác chính bằng khoảng cách từ tâm hạ vuông góc xuống ba cạnh của tam giác.
• Đối với tam giác đều, đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác có cùng tâm đường tròn với nhau.

Ví dụ: △ABC trên ngoại tiếp đường tròn (O, r =OH).

II. CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC

Có 2 cách viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác khi biết tọa độ của 3 điểm tam giác đó:

Cách 1: Cho △ABC có (A(x_{A};y_{A}), B(x_{B}; y_{B}), C(x_{C}; y_{C}))

Bước 1: Viết phương trình hai đường phân giác trong ∠A và ∠B.

Bước 2: I vừa tâm đường tròn nội tiếp △ABC cần tìm vừa là giao điểm của hai đường phân giác vừa tìm trên.

Bước 3: Tính khoảng cách từ I hạ xuống một cạnh của △ABC ta được bán kính đường tròn nội tiếp.

Bước 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp △ABC.

Cách 2:  Cho △ABC có (A(x_{A};y_{A}), B(x_{B}; y_{B}), C(x_{C}; y_{C}))

Bước 1: Viết phương trình đường phân giác trong của ∠A.

Bước 2: Tìm tọa độ chân đường phân giác trong ∠A.

Bước 3: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp △ABC cần tìm, tọa độ I thỏa mãn hệ thức (overrightarrow {ID} = -frac{BD}{BA}.overrightarrow {IA} ).

Bước 4: Tính khoảng cách từ I hạ xuống một cạnh của △ABC ta được bán kính đường tròn nội tiếp.

Bước 5: Viết phương trình đường tròn nội tiếp △ABC.

III. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC

Ví dụ: Cho △ABC có A(11; -7), B(23;9), C(-1,2). Viết phương trình đường tròn nội tiếp△ABC .

Lời giải tham khảo:

Gọi d là đường phân giác góc A và H(x;y) là điểm bất kì thuộc đường thẳng d.

Viết phương trình đường thẳng AB:

Ta có: (overrightarrow{AB}(12;16) Rightarrowvec{u}_{AB}(3;4)). Vậy (vec{n}_{AB}(4;-3)) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB.

Phương trình đường thẳng AB đi qua A(11;−7) có phương trình là: (4.(x-11) – 3.(y+7) =0 Leftrightarrow 4x-3y-65=0)

Viết phương trình đường thẳng AC:

Ta có: (overrightarrow{AC}(-12;9) Rightarrowvec{u}_{AC}(-4;3)). Vậy (vec{n}_{AC}(3;4)) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AC.

Phương trình đường thẳng AC đi qua A(11;−7) có phương trình là: (3.(x-11) + 4.(y+7) =0 Leftrightarrow 3x+4y-5=0)

Khoảng cách từ H tới đường thẳng AB và AC: (d_{(H,AB)} = frac{|4x-3y-65|}{sqrt{16+9}} =frac{|4x-3y-65|}{5}) ; (d_{(H,AC)} = frac{|3x+4y-5|}{sqrt{16+9}} =frac{|3x+4y-5|}{5})

Vì H là điểm thuộc đường phân giác góc A nên ta có:

$$d_{(H,AB)}=d_{(H,AC)}$$

$$Leftrightarrow frac{|4x-3y-65|}{5} = frac{|3x+4y-5|}{5}$$

$$Leftrightarrow {|4x-3y-65|} = {|3x+4y-5|}$$

$$Leftrightarrow left [begin{array}{ll}4x-3y-65 = 3x+4y-5\4x-3y-65 = -3x-4y+5end{array}right.$$

$$Leftrightarrow left [begin{array}{ll}x-7y-60=0\7x+y-70=0end{array}right.$$

Thay tọa độ của điểm B(23;9), C(-1,2) vào phương trình x – 7y – 60 = 0 và xét tích của chúng, ta có:

(23 – 7 x 9 -60) x (-1 – 7 x 2 -60) = 8500 > 0

Do đó x – 7y – 60 = 0 là phương trình đường phân giác ngoài.

Vậy phương trình đường phân giác trong của góc A là: 7x + y – 70 = 0.

Viết phương trình đường thẳng BC:

Ta có:(overrightarrow{BC}(-24;-7) Rightarrowvec{u}_{BC}(24;7)). Vậy (vec{n}_{BC}(7;-24)) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC.

Phương trình đường thẳng BC đi qua B(23;9) có phương trình là: (7.(x-23) – 24.(y-9) =0 Leftrightarrow 7x-24y+55=0)

Gọi D là chân đường phân giác trong đỉnh A do đó tọa độ điểm D là nghiệm của hệ:

(left{begin{matrix} 7x+y-70=0\ 7x-24y+55=0 end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} x=frac{65}{7}\ y=5 end{matrix}right. Rightarrow Dleft ( frac{65}{7}; 5 right ))

Gọi I(a,b) là tâm đường tròn nội tiếp △ABC.

(overrightarrow {IA} = (11-a;-7-b),overrightarrow {ID} = (frac{65}{7}-a; 5-b), BA = 20, BD=frac{100}{7})

(overrightarrow {ID} = -frac{BD}{BA}.overrightarrow {IA}  Leftrightarrow left{begin{matrix} frac{65}{7}-a = -frac{5}{7}(11-a)\ 5-b = -frac{5}{7}(-7-b) end{matrix}right. Leftrightarrow left{begin{matrix} a=10\ b=0 end{matrix}right.)

Vậy tọa độ (I(10 , 0)

Bán kính đường tròn nội tiếp △ABC: (r=d_{(I,AB)}  =frac{|4.10-3.0-65|}{5}=5)

Phương trình đường tròn nội tiếp △ABC: ((x-10)^2+y^2=25)