Ibaitap: Qua bài Các cách giải hệ phương trình và các dạng toán thường gặp cùng tổng hợp lại các kiến thức về giải hệ phương trình và hướng dẫn lời giải chi tiết bài tập áp dụng.

I. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

Phương pháp thế là một trong những cách biến đổi tương đương trong hệ phương trình, ta sử dụng phương pháp thế để đưa hệ phương trình về phương trình mới tương đương để tìm nghiệm của hệ.

Các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

• Bước 1: Từ một phương trình thuộc hệ phương trình đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn còn lại rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới chỉ còn có một ẩn.
• Bước 2: Dùng phương trình mới trên để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình và giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.
• Bước 3: Giải hệ phương trình mới một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

II. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

Các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

• Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.
• Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình trong hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.
• Bước 3: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho một trong hai phương trình của hệ phương trình và giữ nguyên phương trình còn lại ta được một hệ mới tương đương với hệ phương trình đã cho.
• Bước 4: Giải hệ phương trình mới một ẩn vừa có, rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

III. CÁC DẠNG TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP

Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp: 

Bước 1: Biến đổi phù hợp hệ phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho theo phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

Bước 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Giải hệ phương trình đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

Bước 1: Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bước 2: Biến đổi phù hợp hệ phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho theo phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

Bước 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp:

Bước 1: Đặt ẩn phụ cho các biểu thức chung trong các phương trình của hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới tương đương.

Bước 2: Biến đổi phù hợp hệ phương trình bậc nhất hai ẩn phụ trên theo phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

Bước 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn phụ.

Bước 4: Trả lại biến đã đặt từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho. 

Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Sử dụng các kiến thức chính sau:

• Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (left{ begin{array}{*{35}{l}}  ax+by=c  \    {{a}^{prime }}x+by’={{c}^{prime }}  \ end{array} right.) có nghiệm (left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)) (Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}} a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}=c  \    {{a}^{prime }}{{x}_{0}}+{{b}^{prime }}{{y}_{0}}={{c}^{prime }}  \ end{array} right.)
• Đường thẳng d: ax + by = c đi qua điểm (Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)Leftrightarrow a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}=c).

IV. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau theo phương thức cộng đại số: (left{ begin{array}{*{35}{l}}  3x+y=3  \    2x-y=7  \ end{array} right.)

Lời giải tham khảo:

(left{ begin{array}{*{35}{l}}  3x+y=3  \    2x-y=7  \ end{array} right.)

(Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}    3x+y+2x-y=3+7  \    2x-y=7  \ end{array} right.)

(Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}    5text{x}=10  \    text{y}=2text{x}-7  \ end{array} right.)

(Leftrightarrow left{ begin{array}{*{35}{l}}    text{x}=2  \    text{y}=-3  \ end{array} right.)

Vậy hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất là (2; -3).

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau theo phương thức thế: (left{ begin{array}{*{35}{l}}   x-y=3,,(1)  \    3x-4y=2,,(2)  \ end{array} right.)

Lời giải tham khảo:

(left{ begin{array}{*{35}{l}}   x-y=3,,(1)  \    3x-4y=2,,(2)  \ end{array} right.)

Từ phương trình (1) rút ra được y = x – 3.

Thế y = x – 3 vào phương trình (2) ta được:

3x – 4.(x – 3) = 2 

⇔ 3x – 4x + 12 = 2 

⇔ x = 10.

Với x = 10 ⇒ y = x – 3 = 10 – 3 = 7.

Vậy hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất là (10; 7).