Ibaitap.com đưa ra lời giải hay và chi tiết cho các bài 16, 17, 18, 19 trang 75 SGK toán 8 tập 1 thuộc [ Bài luyện tập trang 75 trong CHƯƠNG I – TỨ GIÁC] cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải mời các bạn xem dưới đây:

1. BÀI TẬP 16 TRANG 75 SGK TOÁN 8 TẬP 1:

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Giải:

Ta có: (triangle{ABC}) là tam giác cân tại A (gt)

⇒ (widehat{ABC}=widehat{ACB}) (tính chất)

Mà BD là phân giác của (widehat{ABC}) (gt)

      CE là phân giác của (widehat{ACB}) (gt)

⇒ (widehat{B_1}=widehat{B_2}=widehat{C_1}=widehat{C_2})

Xét (triangle{ABD}) và (triangle{ACE}), có:

(widehat{B_1}=widehat{C_1}) (cmt)

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

(widehat{A}): chung

⇒ (triangle{ABD}) = (triangle{ACE}) (g-c-g).

⇒ BD = CE (2 cạnh tương ứng)

  AD = AE (2 cạnh tương ứng) ⇒ (triangle{ADE}) là tam giác cân tại E.

Ta thấy: (triangle{ABC}) và (triangle{ADE}) là 2 tam giác cân chung đỉnh A và các cạnh bên của 2 tam giác trùng nhau, do đó:

(widehat{AED} = widehat{ABC} =frac{180^-widehat{A}}{2})

Mà 2 góc AED và góc ABC ở vị trí đồng vị

⇒ DE // BC (theo dấu hiệu nhận biết).

Xét tứ giác BDEC, có:

DE // BC (cmt) ⇒ BDEC là hình thang.

Mà đường chéo BD = CE (cmt)

⇒ BDEC là hình thang cân (theo dấu hiệu nhận biết).

Ta có: (widehat{D_1} = widehat{B_2}) (2 góc ở vị trí so le trong của DE // BC).

Mà: (widehat{B_1} = widehat{B_2}) (BD là phân giác góc B)

⇒ (widehat{B_1} = widehat{D_1})

⇒ (triangle{EBD}) là tam giác cân tại E.

⇒ EB = ED.

Vậy BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

2. BÀI TẬP 17 TRANG 75 SGK TOÁN 8 TẬP 1:

Hình thang ABCD (AB // CD) có (widehat{ACD} = widehat{BDC}). Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Giải:

Ta có: (widehat{ACD} = widehat{BDC}) (gt)

hay (widehat{C_1} = widehat{D_1})

Mà: 

(widehat{C_1} = widehat{A_1}) (2 góc ở vị trí so le trong của AB // CD)

(widehat{D_1} = widehat{B_1}) (2 góc ở vị trí so le trong của AB // CD)

⇒ (widehat{A_1}= widehat{B_1}) ⇒ (triangle{AEB}) là tam giác cân tại E ⇒ EA = EB 

Tương tự, ta có: (triangle{CDE}) là tam giác cân tại E ⇒ EC = ED.

Mà ta thấy: AC = AE + EC (E nằm giữa A và C)

                   BD = BE + ED (E nằm giữa B và D)

 ⇒ AC = BD

Xét hình thang ABCD, có:

Đường chéo AC = đường chéo BD (cmt)

 ⇒ ABCD là hình thang cân (theo dấu hiệu nhận biết).

3. BÀI TẬP 18 TRANG 75 SGK TOÁN 8 TẬP 1:

Chứng minh định lý: “Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân” qua bài toán sau: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại E. Chứng minh rằng:

a) ΔBDE là tam giác cân.

b) ΔACD = ΔBDC

c) Hình thang ABCD là hình thang cân.

Giải:

a) 

Ta có: AB // CD. Mà E thuộc CD, nên: AB // CE.

⇒ (widehat{ABC}= widehat{ECB}) (2 góc ở vị trí so le trong)

Ta có: BE // AC (gt)

⇒ (widehat{ACB}= widehat{EBC}) (2 góc ở vị trí so le trong)

Xét (triangle{ABC}) và (triangle{ECB}), có:

(widehat{ABC}= widehat{ECB}) (chứng minh trên)

BC: cạnh chung

(widehat{ACB}= widehat{EBC}) (chứng minh trên)

⇒ (triangle{ABC}) = (triangle{ECB}) (g-c-g).

⇒ AC = EB (2 cạnh tương ứng)

Mà AC = BD (gt)

⇒ EB = BD

⇒ (triangle{EBD}) là tam giác cân tại B.

b) 

Có: (triangle{EBD}) là tam giác cân tại B (chứng minh câu a)

⇒ (widehat{D_1}= widehat{E}) (tính chất tam giác cân)

Mà: (widehat{E}=widehat{C_1}) (2 góc ở vị trí đồng vị của BE // AC)

⇒ (widehat{D_1}=widehat{C_1})

Xét (triangle{ADC}) và (triangle{BCD}), có:

      AC = BD (gt)

(widehat{D_1}=widehat{C_1}) (chứng minh trên)

CD: cạnh chung

⇒ (triangle{ADC}) = (triangle{BCD}) (c-g-c)

c) 

Có:  (triangle{ADC}) = (triangle{BCD}) (chứng minh câu b)

⇒ (widehat{ADC}=widehat{BCD}) (2 góc tương ứng)

Xét hình thang ABCD, có:

(widehat{ADC}=widehat{BCD}) (cmt)

Mà là 2 góc kề một đáy

⇒ ABCD là hình thang cân.

4. BÀI TẬP 19 TRANG 75 SGK TOÁN 8 TẬP 1:

Đố. Cho ba điểm A, D, K trên giấy kẻ ô vuông (h.32) Hãy tìm điểm thứ tư M giao điểm của các dòng kẻ sao cho nó cùng với ba diểm đã cho là bốn đỉnh của một hình thang cân.

Giải:

Ta có thể xác định M sao cho: AK = DM và DK // AM

Hoặc xác định M sao cho: AD = MK và MD // AK.