Hằng đẳng thức

Trong toán học, hằng đẳng thức nghĩa là 1 loạt các đẳng thức có liên quan tới nhau hợp lại thành một hằng đẳng thức. Các hằng đẳng thức được sử dụng nhiều trong các môn toán của học sinh cấp II và cấp III

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

Nhắc đến các hằng đẳng thức quan trong thì phải nhắc đến bảy hằng đẳng thức sau:

Những đẳng thức này được sử dụng thường xuyên trong các bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân chia các đa thức, biến đổi biểu thức tại cấp học trung học cơ sở và trung học phổ thông. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ giúp giải nhanh những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Ngoài ra, người ta đã suy ra được các hằng đẳng thức mở rộng liên quan đến các hằng đẳng thức trên:

Hệ quả hằng đẳng thức

Các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên.

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

Hệ quả tổng quát

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

* Với n là số lẻ thuộc N (tập hợp số tự nhiên)

Nhị thức Newton

Với a,b thuộc tập hợp số thực (R), n thuộc tập hợp số tự nhiên dương (N*)

Các hằng đẳng thức khác

Hằng đẳng thức Roy

Đẳng thức về tính chất bắc cầu

.

Từ đẳng thức trên có thể suy ra các hằng đẳng thức sau:

Hằng đẳng thức về căn bậc hai

Hằng đẳng thức này dùng để rút gọn hoặc tính toán các căn bậc hai:

Và còn rất nhiều các hằng đẳng thức hữu ích khác.

Công dụng

Các hằng đẳng thức giúp chúng ta tính toán nhanh gọn hơn và vận dụng các phép tính một cách thuận tiện, hiệu quả hơn.

1. Bình phương của một tổng

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: ( A + B )² = A² + 2AB + B².

Giải thích: Bình phương của một tổng sẽ bằng bình phương của số thứ nhất cộng hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai.

Ví dụ:a) Tính ( a + 3 )².
b) Viết biểu thức x²+ 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng.

Hướng dẫn:

a) Ta có: ( a + 3 )²= a²+ 2.a.3 + 3² = a² + 6a + 9.
b) Ta có x²+ 4x + 4 = x²+ 2.x.2 + 2² = ( x + 2 )².

2. Bình phương của một hiệu

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: ( A – B )² = A² – 2AB + B².

Giải thích: Bình phương của một hiệu sẽ bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai.

3. Hiệu hai bình phương

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A2 – B2 = ( A – B )( A + B ).

Giải thích: Hiệu của hai bình phương của hai số sẽ bằng hiệu của hai số đó nhân với tổng của hai số đó. 

4. Lập phương của một tổng

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: ( A + B )³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³.

Giải thích: Lập phương của một tổng của hai số sẽ bằng lập phương của số thứ nhất cộng với ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân cho số thứ hai, cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai, rồi sau đó cộng với lập phương của số thứ hai.

5. Lập phương của một hiệu

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: ( A – B )³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³.

Giải thích: Lập phương của một hiệu của hai số sẽ bằng lập phương của số thứ nhất trừ đi ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân cho số thứ hai, cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai, rồi sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai.

Ví dụ :a) Tính ( 2x – 1 )³.
b) Viết biểu thức x³– 3x²y + 3xy²– y³ dưới dạng lập phương của một hiệu.

Hướng dẫn:a) Ta có: ( 2x – 1 )³

= ( 2x )³ – 3.( 2x )².1 + 3( 2x ).1² – 1³

 = 8x³ – 12x² + 6x – 1b) Ta có : x³– 3x²y + 3xy²– y³

= ( x )³ – 3.x².y + 3.x. y² – y³ 

= ( x – y )³

6. Tổng hai lập phương

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A³ + B³ = ( A + B )( A² – AB + B² ).

Giải thích: Tổng của hai lập phương của hai số sẽ bằng tổng của số thứ nhất cộng với số thứ hai, sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai.

Chú ý: Ta quy ước A² – AB + B² là bình phương thiếu của hiệu A – B.

Ví dụ:a) Tính 3³+ 4³.
b) Viết biểu thức ( x + 1 )( x²– x + 1 ) dưới dạng tổng hai lập phương.

Hướng dẫn:

a) Ta có: 3³+ 4³= ( 3 + 4 )( 3² – 3.4 + 4² ) = 7.13 = 91.
b) Ta có: ( x + 1 )( x²– x + 1 ) = x³+ 1³ = x³ + 1.

7. Hiệu hai lập phương

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A³ – B³ = ( A – B )( A² + AB + B² ).

Giải thích: Hiệu của hai lập phương của hai số sẽ bằng hiệu của số thứ nhất trừ đi số thứ hai, sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai.

Chú ý: Ta quy ước A² + AB + B² là bình phương thiếu của tổng A + B.

Ví dụ:a) Tính 6³– 4³.
b) Viết biểu thức ( x – 2y )( x²+ 2xy + 4y²) dưới dạng hiệu hai lập phương

Hướng dẫn:a) Ta có: 6³– 4³= ( 6 – 4 )( 6² + 6.4 + 4² ) = 2.76 = 152.
b) Ta có : ( x – 2y )( x²+ 2xy + 4y²) = ( x )³ – ( 2y )³ = x³ – 8y³.

Nguyên tắc để ghi nhớ 7 hằng đẳng thức

Thường xuyênôn tập kiến thức về hằng đẳng thức

Bất kỳ kiến thức nào dù ở lĩnh vực nào, đặc biệt là các hằng đẳng thức đáng nhớ, nếu muốn ghi nhớ kiến thức đó như là tài sản vốn có của mình thì học sinh phải thường xuyên vận dụng nó hàng ngày, sự rèn luyện sẽ hình thành cho các bạn những thói quen tốt. Học sinh nên học các đẳng thức mỗi ngày, vận dụng chúng thành thạo vào những bài toán trước tiên là đơn giản sau đó mới phức tạp dần lên. Vận dụng thường xuyên còn giúp các bạn rèn được tính kiên trì, tìm tòi cũng như khám khá được công thức mới mà mình chưa biết một cách thích thú. Không có tri thức nào là mãi mãi nếu các bạn không thường xuyên trau dồi nó, cũng như phát triển nó. Hằng đẳng thức như một kiến thức vốn có mà khoa học đã chứng minh cụ thể tính đúng đắn của nó, việc học sinh làm là dùng nó theo cách tiếp thu của bản thân một cách chính xác, vì nó phục vụ rất nhiều trong quá trình làm bài của các bạn, đặc biệt những bài tập khó, những bài tập đánh giá sự thông minh của học sinh trong các kỳ thi hay bài kiểm tra.

Học 7 hằng đẳng thức đáng nhớ qua bài hát

Sự phát triển của tri thức cũng như khoa học công nghệ, việc sáng tác các bài hát trong việc ghi nhớ kiến thức ngày càng nâng cao. Những bài hát hài hước, vui nhộn liên quan đến kiến thức học, giúp não bộ của học sinh tiếp thu tốt hơn, một minh chứng cụ thể là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ thay vì khó học với các con số, người ta thay chúng bằng phiên bản qua bài hát “sau tất cả” với nội dung liên quan đến các hằng đẳng thức,  thu hút được sự chú ý cũng như sự thích thú của nhiều bạn trẻ, phục vụ trong việc nhớ kiến thức lâu dài.

Bài tập tự luyện về hằng đẳng thức

Bài 1.Tìm x biếta) ( x – 3 )( x²+ 3x + 9 ) + x( x + 2 )( 2 – x ) = 0.
b) ( x + 1 )³– ( x – 1 )³– 6( x – 1 )² = – 10.

Hướng dẫn:a) Áp dụng các hằng đẳng thức ( a – b )( a²+ ab + b²) = a³ – b³.

( a – b )( a + b ) = a² – b².

Khi đó ta có ( x – 3 )( x² + 3x + 9 ) + x( x + 2 )( 2 – x ) = 0.

⇔ x³ – 3³ + x( 2² – x² ) = 0 ⇔ x³ – 27 + x( 4 – x² ) = 0

⇔ x³ – x³ + 4x – 27 = 0

⇔ 4x – 27 = 0 

Vậy x= _{.b) Áp dụng hằng đẳng thức ( a – b )³= a³– 3a²b + 3ab² – b³}

( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

( a – b )² = a² – 2ab + b²

Khi đó ta có: ( x + 1 )³ – ( x – 1 )³ – 6( x – 1 )² = – 10.

⇔ ( x³ + 3x² + 3x + 1 ) – ( x³ – 3x² + 3x – 1 ) – 6( x² – 2x + 1 ) = – 10

⇔ 6x² + 2 – 6x² + 12x – 6 = – 10

⇔ 12x = – 6 

Vậy x= 

Bài 2: Rút gọn biểu thức A = (x + 2y ).(x – 2y) – (x – 2y)²

1. 2x²+ 4xy     B. – 8y²+ 4xy
2. – 8y² D. – 6y²+ 2xy

Hướng dẫn

Ta có: A = (x + 2y ). (x – 2y) – (x – 2y)²

A = x² – (2y)² – [x² – 2.x.2y +(2y)² ]

A = x² – 4y² – x² + 4xy – 4y²2

A = -8y² + 4xy

Các dạng bài toán áp dụng 7 hằng đẳng thức

Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức : A = x² – 4x + 4 tại x = -1

* Lời giải.

– Ta có : A = x² – 4x + 4 =  x² – 2.x.2 + 2² = (x – 2)²

– Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)²=(-3)²= 9

⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9

Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)² + (x + 1)(3 – x)

* Lời giải.

– Ta có: A =(x – 1)² + (x + 1)(3 – x) = x² – 2x + 1 – x² + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.

Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x² – 2x + 5

* Lời giải:

– Ta có : A = x² – 2x + 5 = (x² – 2x + 1) + 4 = (x – 1)² + 4

– Vì (x – 1)² ≥ 0 với mọi x.

⇒ (x – 1)² + 4 ≥ 4 hay A ≥ 4

– Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1

⇒ Kết luận GTNN của A là: A_min = 4 ⇔ x = 1

Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x²

* Lời giải:

– Ta có : A = 4x – x² = 4 – 4 + 4x – x² = 4 – (4– 4x + x²) = 4 – (x²– 4x + 4) = 4 – (x – 2)²

– Vì (x – 2)² ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)² ≤ 0 với mọi x

⇔  4 – (x – 2)² ≤ 4 [cộng 2 vế với 4]

⇔ A ≤ 4 Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2

⇒ Kết luận GTLN của A là: A_max = 4 ⇔ x = 2.

Dạng 5 : Chứng minh đẳng thức bằng nhau

Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)

* Lời giải:

– Đối với dạng toán này chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A

– Ta có: VT = (a + b)³ – (a – b)³

= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – (a³ – 3a²b + 3ab² – b³)

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ + 3a²b – 3ab² + b³

= 6a²b + 2b³

= 2b(3a² + b²) = VP (đpcm).

⇒ Kết luận, vậy : (a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)

Dạng 6 : Chứng minh bất đẳng thức

– Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.

Ví dụ: Chứng minh biểu thức B nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x, biết: B = (2-x)(x-4)-2

* Lời giải: 

– Ta có: B = (2-x)(x-4) – 1 = 2x – 8 – x² + 4x – 2 = -x² + 6x – 9 – 1 = -(x² – 6x + 9) – 1 = -(x-3)² – 1

– Vì (x-3)² ≥ 0 ⇔ -(x-3)² ≤ 0 ⇒ -(x-3)² – 1 ≤ -1 < 0 với mọi x,

Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ 1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x² – 4x + 4 – y²

* Lời giải:

– Ta có : A = x² – 4x + 4 – y² [để ý x² – 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức]

= (x² – 4x + 4) – y²  [nhóm hạng tử]

= (x – 2)² – y²   [xuất hiện đẳng thức số A² – B²]

= (x – 2 – y )( x – 2 + y)

⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

 Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x³ – 4x² + 4x

= x(x² – 4x + 4)

= x(x² – 2.2x + 2²)

= x(x – 2)²

 Ví dụ 3: Phân tích B thành nhân tử biết: B = x ² – 2xy – x + 2y

= (x ²– x) + (2y – 2xy)

= x(x – 1) – 2y(x – 1)

= (x – 1)(x – 2y)

 Ví dụ 4:  Phân tích C thành nhân tử biết: C = x² – 5x + 6

= x² – 2x – 3x  + 6

= x(x – 2) – 3(x  – 2)

= (x – 2)(x – 3)

Dạng 8: Tìm giá trị của x

Ví dụ:Tìm giá trị củ x biết: x²( x – 3) – 4x + 12 = 0

* Lời giải.

x² (x – 3) – 4x + 12 = 0

⇔ x² (x – 3) – 4(x – 3) = 0

⇔ (x – 3) (x² – 4) = 0

⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2

⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2